고윳값과 고유 벡터: 두 판 사이의 차이

[[파일:Mona Lisa eigenvector grid.png|thumb|270px|위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 [[선형 변환]]을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수평 축은 그대로 수평 축으로 남기 때문에 푸른색 화살표는 방향이 변하지 않지만 붉은색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 푸른색 화살표는 이 변환의 '''고유벡터'''가 되고 붉은색 화살표는 고유벡터가 아니다. 또한 푸른색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 '''고유값고윳값'''은 1이다.]]

[[선형대수학]]에서 '''고유벡터'''({{llang|en|eigenvector}}, {{llang|de|Eigenvektor}})는 어떤 [[선형 변환]]이 일어난 후에도 그 방향이 변하지 않는 [[영벡터]]가 아닌 [[벡터 (선형대수학)|벡터]]를 가리킨다. 또한 변환 후에 고유벡터의 크기가 변하는 비율을 그 벡터의 '''고유값고윳값'''({{lang|en|eigenvalue}}, {{llang|de|Eigenwert}}, {{표준어|'''고윳값'''}})이라고 한다. 또한 '''고유공간'''({{lang|en|eigenspace}}, {{llang|de|Eigenraum}})은 같은 고유값을고윳값을 갖는 고유벡터들의 [[집합]]이다. 선형 변환은 대개 고유벡터와 그 고유값만으로고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다.

고유벡터와 고유값의고윳값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 [[선형대수학]], [[함수해석학]], 그리고 여러가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.

고유벡터(eigenvector)와 고유값고윳값(eigenvalue)의 "eigen"이라는 [[독일어]]를 이와 같은 의미로 쓴 것은 수학자 [[다비트 힐베르트]]가 처음이었다. (그러나 수학 외의 분야에서 [[헤르만 폰 헬름홀츠]]가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) {{llang|de|eigen|아이겐}}은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.

* 어떤 고유벡터의 '''고유값고윳값'''은 변환 전과 후의 고유벡터의 크기 비율이다.

* '''고유공간'''은 같은 고유값을고윳값을 갖는 고유벡터들과 영벡터들로 이루어지는 [[공간#수학에서의 공간|공간]]이다.

* '''주고유벡터'''(principal eigenvector)는 가장 큰 고유값을고윳값을 갖는 고유벡터이다.

* 고유값의고윳값의 '''기하[[중복도]]'''(geometric multiplicity)는 고유값에고윳값에 의해 정의된 고유공간의 [[차원]]이다.

* 유한 차원의 [[벡터 공간]]에 대해 선형 변환의 '''스펙트럼'''은 그 고유값들의고윳값들의 [[집합]]이다.

예를 들어, 삼차원 회전변환의 고유벡터는 그 회전축 상에 놓여 있다. 회전한 후에도 회전축의 크기는 변하지 않으므로 그 고유벡터의 고유값은고윳값은 1이고, 그에 해당하는 고유공간은 회전축에 평행한 모든 벡터로 이루어진다. 이 고유공간은 1차원 공간이므로 기하중복도는 1이고, 고유값이고윳값이 1뿐이므로 [[실수]]인 스펙트럼의 집합은 원소가 1 하나뿐인 집합이다.

지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 모든 화살표는 자전축을 향하는 화살표를 제외하고 함께 회전한다. 그러므로 지구가 한시간동안 자전한 결과를 하나의 변환으로 볼 때 지구의 자전축에 평행한 벡터가 고유벡터이다. 또한 자전축이 커지거나 작아지지 않았으므로 그 고유값은고윳값은 1이다.

다른 예로는 얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 두 배 늘린 경우를 들 수 있다. 이때 가운데 점으로부터 종이의 모든 점을 향한 벡터들이 모두 고유벡터가 된다. 또한 벡터들의 길이가 모두 두배가 되었으므로 고유벡터들의 고유값은고윳값은 2이다. 이 경우 고유공간은 모든 고유벡터들의 집합이 될 것이다.

== 고유값고윳값 방정식 ==

다음 방정식이 참이면 <math>\mathbf v_\lambda</math>는 고유벡터이고 <math>\lambda</math>는 그에 해당하는 고유값이다고윳값이다.

<math>T</math>가 [[선형 변환]]이라고 가정하자. (즉, 모든 [[스칼라]] <math>a, b</math>와 벡터 <math>\mathbf v, \mathbf w</math>에 대해 <math>T(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=aT(\mathbf{v})+bT(\mathbf{w})</math>이다. 그러면 <math>T</math>와 <math>\mathbf v</math>는 [[행렬]] <math>A_T</math>와 열벡터 <math>\mathbf v_\lambda</math>로 표현할 수 있다. 그러면 위의 고유값고윳값 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이 방정식에서 <math>\lambda</math>와 <math>\mathbf v_\lambda</math>를 미지수로 놓아 [[연립방정식]]을 풀면 고유값과고윳값과 고유벡터를 얻을 수 있다.

그러나 고유값고윳값 방정식을 항상 행렬 형태로 쓸 수 있는 것은 아니다. 예를 들어 위에서 든 밧줄의 예와 같이 벡터 공간의 차원이 무한하다면 그것을 행렬 형태로 쓰는 것은 불가능하다. 이런 경우에는 고유값고윳값 방정식을 [[미분방정식]]의 형태로 쓸 수 있다. <math>T</math>를 미분 기호로 놓으면 이 경우 고유벡터는 '''고유함수'''라 불린다. [[미분]]은 다음과 같은 성질에 의해 일종의 [[선형 변환]]이다.

<math>t</math>에 대해 미분하면 고유함수 <math>h(t)</math>는 고유값고윳값 방정식을 만족한다.

이때 <math>\lambda</math>는 고유함수에 해당하는 고유값이다고윳값이다. 만약 <math>\lambda = 0</math> 이면 이 함수는 상수함수이다.

고유값고윳값 방정식의 해는 <math>h (t) = \exp (\lambda t)</math>, 즉 [[지수함수]]이다. <math>\lambda</math>는 임의의 [[복소수]]일 수 있다.

== 행렬의 고유값과고윳값과 고유벡터 ==

어떤 주어진 행렬의 고유값을고윳값을 구하고자 할 때, 행렬의 차원이 작다면 특성 방정식을 사용해 고유값을고윳값을 쉽게 구할 수 있다. 하지만 커다란 행렬에 대해서는 특성 방정식이 복잡해지므로 대신 수치적 방법을 사용해 고유값을고윳값을 근사적으로 구하기도 한다.

=== 특성 방정식을 이용해 고유값고윳값 구하기 ===

정방행렬의 고유값을고윳값을 구하는데는 특성 방정식이 매우 유용하게 쓰인다. <math>\lambda</math>를 행렬 <math>A</math>의 고유값이라고고윳값이라고 한다면, <math>v</math>에 대한 방정식 :<math>(A - \lambda I) v = 0</math>는 영이 아닌 해를 갖는다. (<math>I</math>는 단위 행렬) 이 해가 바로 고유벡터이며, 행렬식을 이용해 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.

여기서 좌변의 식이 바로 행렬 <math>A</math>의 특성 방정식이다. 행렬의 모든 고유값은고윳값은 위 식의 해를 구하면 얻을 수 있는데, 만약 <math>A</math>가 ''n''×''n'' 행렬이라면 위 식은 최대 ''n''개의 해를 갖는 방정식이다.

실수의 고유값을고윳값을 갖지않는 행렬의 예로는 시계방향으로 90도 회전하는 변환 행렬을 들 수 있다. 즉,

와 같이 표현되는 행렬인데, 이 행렬의 특성 방정식은 <math>\lambda^2+1</math>이며 고유값을고윳값을 구하게 되면 켤레 복소수인 <math>i</math>와 <math>-i</math>를 해로 구할 수 있다. 물론 이 고유값과고윳값과 연관된 고유벡터도 허수 값을 갖는다.

==== 2×2 행렬에서 고유값고윳값 ====

2×2 행렬에서의 고유값은고윳값은 다음과 같은 방법을 통해 즉각적으로 구할 수 있다. 만약

이때 <math> I_{2} </math>는 2×2 [[단위행렬]]이다. 따라서 2×2 행렬의 고유값은고윳값은 다음과 같이 나타낼수 있다.

따라서, 행렬식이 영(0)이지만 대각성분의 합(Trace)이 영(0)이 아닌 아주 특별한 경우의 2×2 행렬에서는 고유값이고윳값이 영(0)이다. 예를 들어, 다음 행렬의 고유값은고윳값은 영(0)과 (<math>a^2 + b^2</math>)이다: