단위원: 두 판 사이의 차이

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점 <math>P</math>에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 <math>sin\theta=\frac{y}{r}, cos\theta=\frac{x}{r}</math>으로 나타낼 수 있다.
 
 
단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 <math>r=1</math>이므로 <math>x=sin\theta, y=cos\theta</math>로 정리할 수 있다.
 
 
이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리(<math>r</math>)'와 '<math>x</math>축의 양의 방향과 이루는 각도(<math>\theta</math>)'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.
 
==단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화==
 
단위원 위의 임의의 한 점 <math>P</math>를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 <math>t</math>(<math>t</math>: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 <math>(-1,0)</math>을 지나는 직선 <math>l</math>을 생각한다. 이 경우, 직선 <math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 <math>l</math>의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math>은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.
 
 
이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, <math>(-1,0)</math>제외, <math>t</math>가 <math>\pm\infty</math>로 발산하는 경우 점 <math>P</math>는 <math>(-1,0)</math>로 수렴한다)를 임의의 실수 <math>t</math>에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.
 
 
'''참고)''' 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선 <math>g(x,y)</math>의 교점의 갯수를 구할 수 있다.
예를들어, <math>f(x,y)=x^2+y^2-1, g(x,y)=0</math> 라 하자. 단, <math>f(x,y)</math>는 단위원 <math>g(x,y)</math>는 임의의 곡선이며 <math>g(x,y)</math>의 차수는 <math>n</math>이라 하자.
 
결론부터 말하자면, <math>f(x,y)</math>와 <math>g(x,y)</math>의 교점의 갯수는개수는 많아야 <math>2n</math>개 이하이다.
 
우선, 두 곡선 <math>f(x,y)</math>와 <math>g(x,y)</math>의 교점 <math>Q</math>는 단위원의 유리매개화를 통해 <math>(-1,0)</math>을 제외한 모든 점에서 아래와 같이 유리매개화할 수 있다.
 
::<math>Q=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)</math>
 
이 때, <math>(x,y)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)</math>로 놓을 수 있고 <math>g(x,y)=g\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)=0</math>이다.
 
여기서 <math>g(x,y)=g\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)=0</math>을 만족하는 <math>t</math>의 갯수가개수가 교점의 갯수이다개수이다.
 
따라서 우리가 알고 싶은 것은 <math>t</math>의 차수(degree)이므로, <math>t</math>에 대해 정리한 각 항의 일반적인 형태는 다음과 같다.
::<math>C</math><sub>ij</sub><math>(\frac{1-t^2}{1+t^2})^i</math><math>(\frac{2t}{1+t^2})^j</math><math>=</math><math>C</math><sub>ij</sub><math>\frac{(1-t^2)^i(2t)^j}{(1+t^2)^{i+j}}</math>
 
::<math>C</math><sub>ij</sub><math>(\frac{1-t^2}{1+t^2})^i</math><math>(\frac{2t}{1+t^2})^j</math><math>=</math><math>C</math><sub>ij</sub><math>\frac{(1-t^2)^i(2t)^j}{(1+t^2)^{i+j}}</math> (단, <math>C</math><sub>ij</sub>는 각 항의 계수이며, i+j<n 이다.)
 
그리고 위 식 우변에 <math>(1+t^2)</math><sup>i+j</sup>을 곱하면,
 
::<math>C</math><sub>ij</sub><math>(1-t^2)^i(2t)^j(1+t^2)^{n-i+j}</math>
 
그러므로 차수(<math>degree</math>)를 생각하면 다음과 같다.
 
::<math>2i+j+2n-2(i+j)</math>
::<math>=2n-j < 2n </math>
 
따라서 <math>t</math>의 차수가 <math>2n</math>보다 작으므로 '''단위원'''과 임의의 곡선 <math>g(x,y)</math>의 교점의 갯수는개수는 많아야 <math>2n</math>개 이하이다.
 
== 복소평면의 단위원 ==

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