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<!-- 이 부분은 [[:en:Tensor (intrinsic definition)]]의 정의 부분을 번역한 것입니다. -->
<math>V</math>와 <math>W</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>F</math> 상의 [[벡터공간벡터 공간]]일 때, 이 둘의 '''[[텐서곱]]''' <math>V \otimes_F W</math>는 <math>F</math> 상의 벡터공간으로벡터 공간으로 아래의 [[보편 조건]]을 만족하는 [[이중선형사상]] <math>\otimes: V \times W \rarr V \otimes_F W</math>을 갖는 것이다.
:보편 조건: <math>F</math> 상의 임의의 벡터공간벡터 공간 X와 F-이중선형사상 <math>Q: V \times W \rarr X \,</math>에 대해,
::<math> Q (v,w) = Q'(v\otimes w) \ \ \forall v \in V, w \in W </math>
:를 만족하는 <math>F</math>-선형사상 <math> Q': V \otimes_F W \rarr X </math>가 유일하게 존재한다.
위의 보편 조건을 만족하는 벡터공간벡터 공간 <math>V \otimes_F W</math>과 이중선형사상 <math>\otimes</math>은 유일하게 존재하며, 따라서 이 조건으로 텐서곱이 정의된다.
이때, <math>V</math> 상의 '''텐서'''는 벡터공간벡터 공간 <math>V \otimes ... \otimes V \otimes V^* \otimes ... \otimes V^*</math>의 원소(즉, 벡터)로 정의된다. (여기에서 <math>V^*</math>는 <math>V</math>의 [[쌍대공간]]이다.) 위의 텐서곱에서 <math>V</math>가 <math>m</math>개 있고 <math>V^*</math>가 <math>n</math>개 있을 경우 이를 '''<math>(m, n)</math> 형의 텐서'''라 한다. 여기에서 <math>m</math>을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank)라 하고 <math>n</math>을 공변 계수(covariant rank)라 하며, <math>m+n</math>을 총 계수(total rank)라 한다.
계수 0의 텐서는 스칼라(<math>F</math>의 원소)와 같고, 공변 계수 없이 반변 계수만 1인 텐서는 <math>V</math>의 원소(벡터)와 같으며, 공변 계수만 1인 텐서는 <math>V</math>*의 원소([[1-형식]])와 같다.
{{토막글|수학}}
[[분류:텐서| ]]
[[분류:물리학의 기본 개념]]
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