2015년 2월 8일 (일) 17:18 판 편집 오모군 (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 22,253 편집 잔글 틀 추가 ← 이전 편집		2015년 3월 3일 (화) 10:30 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[파일:Surjection.svg\|thumb\|200px\|전사함수의 예.]] '''~~전사함수~~전사 함수'''(全射函數, surjection, 또는 surjective function)는 임의의 [[공역 (수학)\|공역]]의 원소에 대응하는 정의역이 원소가 한 개 이상 존재하는, 즉 공역과 [[치역]]이 같은 함수를 말한다. == 정의 == 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''전사 함수'''라고 한다. ~~함수 {{Nowrap\|''f'': ''X'' → ''Y''}}가 다음을 만족할 때, f를 전사함수라 한다.~~ * 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>인 <math>x\in X</math>가 존재한다. * [[공역]]과 [[치역]]이 같다. 즉, <math>Y=f(X)</math>이다. * <math>f</math>는 집합의 범주에서의 [[전사 사상]]이다. 즉, 임의의 [[집합]] <math>Z</math> 및 [[함수]] <math>g_1,g_2\colon Y\to Z</math>에 대하여, 만약 <math>g_1\circ f=g_2\circ f</math>라면 <math>g_1=g_2</math>이다. * <math>f</math>는 집합의 범주에서의 [[분할 전사 사상]]이다. 즉, <math>f\circ g</math>가 <math>Y</math> 위의 [[항등 함수]]를 이루는 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다. (이는 [[선택 공리]]를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.) == 성질 == ~~: 공역 ''Y''에 속하는 임의의 원소 ''y''에 대하여 정의역 ''X''에 최소한 하나의 원소 ''x''가 {{Nowrap begin}}''f''(''x'') = ''y''{{Nowrap end}}을 만족한다.~~ 전사 함수와 전사 함수의 [[함수의 합성\|합성]]은 전사 함수이다. 반대로, <math>g\circ f</math>가 전사 함수이면, <math>g</math>도 전사 함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사 함수일 필요는 없다. == 예 == 정의역과 공역이 둘 다 [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math>인 함수 정의역과 공역이 '''R''' → '''R'''인 함수 ''g''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> 는 전사함수가 아닌데, ''x''<sup>2</sup> = −1을 만족하는 실수 ''x''가 없기 때문이다. 그러나 만약 공역이 '''R'''이 아닌 양의 실수 '''R<sup>+</sup>'''이라면, 함수 ''g''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>는 전사함수이다. 이 경우 언제나 ''x''<sup>2</sup> = ''y''를 만족하는 실수 ''x''가 존재하기 때문이다. :<math>\mathbb R\to\mathbb R</math> :<math>x\mapsto x^2</math> 는 전사 함수가 아닌데, ''x''<sup>2</sup> = −1을 만족하는 실수 ''x''가 없기 때문이다. 그러나 만약 공역이 '''R''' 대신, 음이 아닌 실수 <math>[0,\infty)</math>라면, 함수 :<math>\mathbb R\to[0,\infty)</math> :<math>x\mapsto x^2</math> 는 전사 함수이다. == 성질바깥 고리 == * {{매스월드\|id=Surjection\|title=Surjection}} * 전사 함수와 전사 함수의 [[합성함수]]는 전사함수이다. * {{eom\|title=Surjection}} * <math>g \circ f</math>가 전사함수이면, <math>g</math>도 전사함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사일 필요는 없다. == 같이 보기 == * [[~~단사함수~~단사 함수]] * [[전단사함수]] ~~{{토막글\|수학}}~~ {{집합론}} [[분류:집합론]]

전사 함수: 두 판 사이의 차이