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[[파일:Surjection.svg|thumb|200px|전사함수의 예.]]
'''전사함수전사 함수'''(全射函數, surjection, 또는 surjective function)는 임의의 [[공역 (수학)|공역]]의 원소에 대응하는 정의역이 원소가 한 개 이상 존재하는, 즉 공역과 [[치역]]이 같은 함수를 말한다.
 
== 정의 ==
함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''전사 함수'''라고 한다.
함수 {{Nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}}가 다음을 만족할 때, f를 전사함수라 한다.
* 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>인 <math>x\in X</math>가 존재한다.
* [[공역]]과 [[치역]]이 같다. 즉, <math>Y=f(X)</math>이다.
* <math>f</math>는 집합의 범주에서의 [[전사 사상]]이다. 즉, 임의의 [[집합]] <math>Z</math> 및 [[함수]] <math>g_1,g_2\colon Y\to Z</math>에 대하여, 만약 <math>g_1\circ f=g_2\circ f</math>라면 <math>g_1=g_2</math>이다.
* <math>f</math>는 집합의 범주에서의 [[분할 전사 사상]]이다. 즉, <math>f\circ g</math>가 <math>Y</math> 위의 [[항등 함수]]를 이루는 함수
<math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다. (이는 [[선택 공리]]를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)
 
== 성질 ==
: 공역 ''Y''에 속하는 임의의 원소 ''y''에 대하여 정의역 ''X''에 최소한 하나의 원소 ''x''가 {{Nowrap begin}}''f''(''x'') = ''y''{{Nowrap end}}을 만족한다.
전사 함수와 전사 함수의 [[함수의 합성|합성]]은 전사 함수이다. 반대로, <math>g\circ f</math>가 전사 함수이면, <math>g</math>도 전사 함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사 함수일 필요는 없다.
 
== 예 ==
정의역과 공역이 둘 다 [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math>인 함수
정의역과 공역이 '''R'''&nbsp;→&nbsp;'''R'''인 함수 ''g''(''x'')&nbsp;= ''x''<sup>2</sup> 는 전사함수가 아닌데, ''x''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;&minus;1을 만족하는 실수 ''x''가 없기 때문이다. 그러나 만약 공역이 '''R'''이 아닌 양의 실수 '''R<sup>+</sup>'''이라면, 함수 ''g''(''x'')&nbsp;= ''x''<sup>2</sup>는 전사함수이다. 이 경우 언제나 ''x''<sup>2</sup>&nbsp;= ''y''를 만족하는 실수 ''x''가 존재하기 때문이다.
:<math>\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>x\mapsto x^2</math>
는 전사 함수가 아닌데, ''x''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;&minus;1을 만족하는 실수 ''x''가 없기 때문이다. 그러나 만약 공역이 '''R''' 대신, 음이 아닌 실수 <math>[0,\infty)</math>라면, 함수
:<math>\mathbb R\to[0,\infty)</math>
:<math>x\mapsto x^2</math>
는 전사 함수이다.
 
== 성질바깥 고리 ==
* {{매스월드|id=Surjection|title=Surjection}}
* 전사 함수와 전사 함수의 [[합성함수]]는 전사함수이다.
* {{eom|title=Surjection}}
* <math>g \circ f</math>가 전사함수이면, <math>g</math>도 전사함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사일 필요는 없다.
 
== 같이 보기 ==
* [[단사함수단사 함수]]
* [[전단사함수]]
 
{{토막글|수학}}
{{집합론}}
[[분류:집합론]]