정역학적 평형: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Salamander724 (토론 | 기여) |
Salamander724 (토론 | 기여) |
||
4번째 줄:
== 수학적 유도 ==
[[파일:Hydrostatic equilibrium.svg|thumb|250px|유체 덩어리가 움직이지 않는다면, 위를 향하는 힘과 아래를 향하는 힘의 크기는 같아야 한다.]]
===
[[뉴턴의 운동법칙]]에 따르면 유체가 움직이지 않거나 일정한 속도를 가지려면 유체에 가해지는 합력은 0이 되어야 한다. 즉 어느 한 방향으로 가해지는 힘의 총합은 그와 반대 방향으로 가해지는 힘의 총합과 크기가 같고, 이 평형 상태를 정역학적 평형이라 한다.
유체 덩어리를 무수한 작은 [[직육면체]] 단위로 나눈다고 생각해 보자.
여기에 작용하는 힙은 3가지가 있다. 직육면체의 위쪽 면에 대하여 아래쪽으로 작용하는 압력 <math>P</math>는 [[얍력]]의 정의에 의하여 다음과 같이 기술된다.
:<math>F_{top} = - P_{top} \cdot A.</math>
아래쪽 면에 대하여 위쪽으로 작용하는 압력 역시 다음과 같이 기술된다.
:<math>F_{bottom} = P_{bottom} \cdot A.</math>
그리고 직육면체 자체의 [[중력]]으로 인한 [[무게]]가 아래쪽으로 작용한다. [[밀도]]가 <math>\rho</math>, 부피가 <math>V</math>, [[표준중력]]이 <math>g</math>일 때
:<math>F_{weight} = -\rho \cdot g \cdot V.</math>
직육면체의 부피는 윗면 또는 아랫면의 면적에 높이를 곱한 것이므로
:<math>F_{weight} = -\rho \cdot g \cdot A \cdot h</math>
이 힘들이 평형을 이루기 위해 유체에 작용하는 합력은
:<math>\sum F = F_{bottom} + F_{top} + F_{weight} = P_{bottom} \cdot A - P_{top} \cdot A - \rho \cdot g \cdot A \cdot h.</math>
이며, 이 합력이 0이 될 때 유체의 속도는 일정해진다.
:<math>0 = P_{bottom} \cdot A - P_{top} \cdot A - \rho \cdot g \cdot A \cdot h.</math>
양변을 <math>A</math>로 나누면
:<math>0 = P_{bottom} - P_{top} - \rho \cdot g \cdot h.</math>
:<math>P_{top} - P_{bottom} = - \rho \cdot g \cdot h.</math>
<math>P_{top} - P_{bottom}</math>는 압력의 변화를 의미하며, <math>h</math>는 단위부피의 높이, 즉 바닥에서의 거리 변화를 의미한다. 이 변화가 [[무한소]]로 작다고 가정하면, 식을 다음의 [[미분방정식]]으로 쓸 수 있다.
:<math>dP = - \rho \cdot g \cdot dh.</math>
밀도는 압력에 따라 변화하고, 중력은 높이에 따라 변화하므로,
:<math>dP = - \rho(P) \cdot g(h) \cdot dh.</math>
=== 나비에-스톡스 방정식에서 유도 ===
| |||