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24번째 줄: * 만약 ''A''가 '''Q'''-대수라면, 임의의 아이디얼 ''I'' 위에는 유일한 분할거듭제곱 구조가 존재한다. 그리고, 이 분할거듭제곱 구조는 <math>\gamma_n(x) = \frac{1}{n!} \cdot x^n</math> 로 결정된다. 이는, 임의의 분할거듭제곱 대수에 대해서, 항상 <math>x^n = n! \gamma_n(x)</math>가 성립하기 때문에, '''Q'''-대수인 경우에는 특히 <math>n!</math>로 나누어 줌으로써 증명가능하다. 하지만, '''Q'''-대수가 아닌 경우에는 <math>x^n = n! \gamma_n(x)</math>는 성립하더라도, <math>n!</math>로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다. * 만약 ''A''가 [[종수]](characteristic)이 어떤 [[소수소수_(수론)]] 값 <math> p>0</math>을 가지는 환이고, 주어진 아이디얼 ''I''이 <math> I^p = 0 </math>를 만족하는 경우라면, 어떤 분할거듭제곱 구조를 아래와 같이 하나 정의해 줄 수 있다. (이 구조만이 유일한 것이 아닐 수 있음에 주의): 만약 ''n''<''p''라면, <math>\gamma_n(x) = \frac{1}{n!} x^n</math>로, 만약 <math> n \geq p</math>라면, <math>\gamma_n(x) = 0</math>로 정의한다. 일반적으로 양의 종수를 가지는 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼 <math> I^p </math>과, 모든 <math> x \in I </math>에 대해 <math> x^p </math>로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.

분할 거듭제곱 환: 두 판 사이의 차이