부분 순서 집합: 두 판 사이의 차이
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모든 [[전순서]]는 부분 순서이다. 예를 들어, [[자연수]] 집합 <math>\mathbb N</math>이나 [[정수]] 집합 <math>\mathbb Z</math>, [[유리수]] 집합 <math>\mathbb Q</math>, [[실수]] 집합 <math>\mathbb R</math> 위의 표준적인 순서는 전순서이므로 부분 순서이다.
집합 <math>S</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(S)</math> 위의
* [[군 (수학)|군]]의 부분군들의 집합
* [[벡터 공간]]의 부분 벡터 공간들의 집합
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등등은 특정한 부분 집합들의 집합이므로 포함 관계를 통해 부분 순서를 갖는다.
[[부분수열]]에 의한 관계는 특정한 집합 (예를 들어 어떤 수열의 부분수열들의 집합, 집합 <math>X</math>의 원소를 항으로 하는 수열들의 집합) 위의 부분 순서이다. 이는 일반적으로 전순서가 아니다. 이와 비슷하게 [[문자열]]들의 집합에서 [[부속문자열]]에 의한 관계는 부분 순서이다.
양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math> 위에, 약수 관계 <math>\mid</math> (<math>a\mid b</math>는 "<math>a</math>는 <math>b</math>의 약수")는 부분 순서이며, 이는 전순서가 아니다.▼
▲양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>
=== 부분 순서의 수 ===▼
[[비순환 유향그래프]]의 꼭짓점들의 집합은 [[도달가능성]]에 의한 부분 순서를 가진다.
두 부분 순서 집합 <math>(X,\le_X)</math>, <math>(Y,\le_Y)</math>의 [[사전식 순서]] <math>(X\times Y,\le)</math>는 다음과 같이 정의되며 이는 여전히 부분 순서이다.
:<math>(a,b)\le(c,d)\ \iff\ a<_Xc\ \text{or}\ (a=c\ \text{and}\ b\le_Yd)</math>
<math>(X,\le_X)</math>, <math>(Y,\le_Y)</math>의 [[직접곱]] <math>(X\times Y,\preceq)</math>도 부분 순서 집합이다.
:<math>(a,b)\preceq(c,d)\ \iff\ a\le_Xc\ \text{and}\ b\le_Yd</math>
부분 순서 집합 <math>P</math>의 [[수열 공간]] <math>P^{\N}</math>에 정의된 [[성분별 순서]]는 부분 순서이다.
:<math>(a_n)_{n\in\N}\le(b_n)_{n\in\N}\ \iff\ \forall n\in\N:a_n\le b_n</math>
== 순부분순서 ==
일부 문헌에서는 위에서 정의한 순서 관계를 '''비절대부분순서''' 또는 '''비순부분순서'''(非絶對部分順序, -純-, {{llang|en|non-strict partial order}})라고 한다. 또 '''절대부분순서''' 또는 '''순부분순서'''({{llang|en|strict partial order}})로 불리는 순서 관계 <math><\subseteq S^2</math>를 다음과 같이 정의한다.
* 모든 <math>s\in S</math>는 <math>s<s</math>를 불만족한다. ([[비반사적 관계|비반사성]])
* 모든 <math>s,t,u\in S</math>에 대하여, 만약 <math>s<t</math>이며 <math>t<u</math>이면 <math>s<u</math> ([[추이관계|추이성]])
* 모든 <math>s,t\in S</math>에 대하여, 만약 <math>s<t</math>이면 <math>\neg(t<u)</math>
<math>S</math> 위의 모든 순부분순서와 비순부분순서 사이에는 자명한 [[일대일 대응]]이 존재한다.
* <math>S</math> 상의 비순부분순서 <math>\le</math>에 대응하는 순부분순서 <math><</math>는 다음과 같다.
*:<math>a<b\ \iff\ a\le b\ \text{and}\ a\ne b</math>
* <math>S</math> 상의 순부분순서 <math><</math>에 대응하는 비순부분순서 <math>\le</math>는 다음과 같다.
*:<math>a\le b\ \iff\ a<b\ \text{or}\ a=b</math>
크기가 <math>n</math>인 유한 집합 위의 부분 순서의 수는 다음과 같다. (<math>n=0,1,2,\dots</math>)
:1, 1, 3, 19, 219, 4231, 130023, … {{OEIS|A1035}}
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[[분류:순서론]]
[[분류:관계 (수학)]]
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