|
[[순서론]]에서, '''극대 원소'''(極大元素, {{llang|en|maximal element}})와 '''극소 원소'''(極小元素, {{llang|en|minimal element}})는 [[부분 순서 집합]]에서 비교 가능한 원소들 가운데 가장 크거나 가장 작은 원소이다. '''최대 원소'''(最大元素, {{llang|en|maximum element}}, {{lang|en|greatest element}})와 '''최소 원소'''(最小元素, {{llang|en|minimum element}}, {{lang|en|least element}})는 모든 원소들과 비교 가능하며, 가장 크거나 가장 작은 원소이다.
== 정의 ==
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''극대 원소'''는 다음 성질을 만족시키는 원소 <math>m\in P</math>이다.
* 모든 <math>a\in P</math>에 대하여, <math>m\le a</math>라면 <math>m=a</math>이다.
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''최대극소 원소'''는 다음반대 성질을순서 만족시키는 원소집합 <math>mP^{\in operatorname{op}}=(P,\ge)</math>이다의 극대 원소이다.
* 모든 <math>a\in P</math>에 대하여, <math>a \le m</math>이다.
부분 순서 집합 <math>(P,\le)</math>의 '''극소 원소'''와 '''최소 원소'''는 각각 반대 순서 집합 <math>P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)</math>의 극대 · 최대 원소이다.
어떤 부분 순서 집합이 최대 원소 및 최소 원소를 갖는다면, [[유계 집합]]이라고 한다.
== 성질 ==
== 예 ==
[[실수]]의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R,\le)</math>은 극대 · 극소 원소를 갖지 않는다. 닫힌 단위 구간 <math>([0,1],\le)</math>은 최대 · 최소 원소를 가지지만, 열린 단위 구간 <math>((0,1),\le)</math>은 최대 원소나 최소 원소를 갖지 않는다.
모든 [[불 대수]]나 [[헤이팅 대수]]는 최대 원소 및 최소 원소를 갖는다. 이들은 각각 고전 [[명제 논리]] 및 [[직관 논리]]의 참값과 대응하는데, 이 경우 최대 원소는 참인 명제, 최소 원소는 거짓인 명제에 대응한다.
어떤 집합 <math>S</math>의 [[부분 집합]]들의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>(\mathcal P(S),\subseteq)</math>는 최소 원소 <math>\varnothing</math> 및 최대 원소 <math>S</math>를 갖는다.
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 아이디얼들의[[아이디얼]]들의 부분 순서 집합은 최대 원소 <math>R=(1)</math> 및 최소 원소 <math>\{0\}=(0)</math>을 갖는다. 고유 아이디얼(<math>R</math> 전체가 아닌 아이디얼)들의 부분 순서 집합의 극대 원소는 [[극대 아이디얼]]이라고 한다.
극대 원소의 존재는 [[초른의 보조정리]]를 통해 보일 수 있다.
| 