극대 원소와 극소 원소: 두 판 사이의 차이
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[[수학]], 특히 [[순서론]]에서, '''극대 원소'''(極大元素, {{llang|en|maximal element}})와 '''극소 원소'''(極小元素, {{llang|en|minimal element}})는 [[부분 순서 집합]]에서 그와 비교 가능한 원소들 가운데 가장 크거나 가장 작은 원소이다. 이는 [[최대 원소]], [[최소 원소]]보다 약한 개념이다. 줄여서 '''극대원''', '''극소원'''이라고도 한다.
극대 원소가 존재할 충분조건은 [[초른의 보조정리]]에 의해 제시된다. 이 정리에 의하면, 부분 순서 집합의 모든 [[사슬 (순서론)|사슬]]이 상계를 가지면 그 부분 순서 집합은 극대 원소를 가진다. 이는 [[정렬 정리]], [[선택 공리]]와 동치인 명제이다.
== 정의 ==
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''극대 원소'''
* 모든 <math>
부분 순서 집합 <math>(P,\le)</math>의 '''극소 원소'''는 반대 순서 집합 <math>P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)</math>의 극대 원소이다. 즉, 다음의 서로 동치인 성질 중 하나를 만족하는 <math>m\in P</math>이다.
* 모든 <math>x\in P</math>에 대하여, <math>m\ge x</math>라면 <math>m=x</math>이다.
* 모든 <math>x\in P</math>에 대하여, <math>\neg(m>x)</math>이다.
== 존재성과 유일성 ==
=== 존재성 ===
극대 원소와 극소 원소는 존재하지 않을 수 있다.
* [[실수]]의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R,\le)</math>은 극대 · 극소 원소를 갖지 않는다.▼
* [[실수]]의 부분집합 <math>[1,+\infty]</math>은 극대 원소를 갖지 않는다.
=== 유일성 ===
극대 원소와 극소 원소는 유일하지 않을 수 있다.
* '[[울타리 (수학)|울타리]]'로 불리는 부분 순서 구조 <math>a_1<b_1>a_2<b_2>a_3<b_3>\cdots</math>에서, 모든 <math>a_i</math>는 극소원, 모든 <math>b_i</math>는 극대원이다.
* 적어도 두 원소를 포함한 집합 <math>A</math>에 대해 집합 <math>S=\{\{a\}:a\in A\}</math>와 그 위의 부분 순서 <math>\subseteq</math>를 정의하면, <math>S</math>의 임의의 서로 다른 원소는 비교가 불가능하므로, <math>S</math>의 모든 원소는 동시에 극대원이자 극소원이다.
== 다른 예 ==▼
* <math>M:=\{2,3,4,6,9,12,18\}</math>은 [[자연수]] 36의 자명하지 않은 (즉 1과 자신을 제외한) 자연수 [[약수]]들의 집합이다. 이들에게 약수 관계에 의한 부분 순서를 주면 2, 3을 극소 원소, 12, 18을 극대 원소로 한다.
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[고유 아이디얼]]
== 최대·최소 원소와의 관계 ==
모든 [[최대 원소]]는 극대 원소이며, 모든 [[최소 원소]]는 극소 원소이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
[[전순서 집합]]에서는 극대 원소와 최대 원소, 극소 원소와 최소 원소의 개념이 동등하다.
== 성질 ==▼
극대 원소와 최대 원소가 동일시 되는 경우는 [[전순서]]뿐만이 아니다. 임의의 집합 <math>S</math>에 대해, 그의 멱집합과 포함 관계로 이루어진 부분 순서 집합 <math>(\mathcal{P}(S),\subseteq)</math>은 극대와 최대, 극소와 최소 원소가 각각 유일하며 같으나, 이는 일반적으로 전순서가 아니다(<math>S</math>의 원소가 없거나 하나 뿐일 때에만 전순서이다).
▲== 예 ==
▲[[실수]]의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R,\le)</math>은 극대 · 극소 원소를 갖지 않는다.
== 유향 집합 ==
▲[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]]들의 부분 순서 집합은 최대 원소 <math>R=(1)</math> 및 최소 원소 <math>\{0\}=(0)</math>을 갖는다. 고유 아이디얼(<math>R</math> 전체가 아닌 아이디얼)들의 부분 순서 집합의 극대 원소는 [[극대 아이디얼]]이라고 한다.
{{부분 토막글}}
* [[파레토 효율]]에서, [[파레토 최적]]은 파레토 개선에 의한 부분 순서의 극대 원소를 찾는 것이다. 이러한 극대 원소들의 집합을 파레토 경계라고 한다.
* [[결정이론]]에서, [[허용 가능 결정 규칙]]은 [[지배 결정 규칙]]에 의한 부분 순서의 극대 원소이다.
* [[현대 포트폴리오 이론]]에서, 위험과 회수의 [[곱순서]]에 대한 극대 원소들의 집합을 [[효율적 투자선]]이라고 한다.
* [[집합론]]에서, 한 집합이 유한할 필요충분조건은 공집합이 아닌 임의의 [[부분집합]][[집합족|족]]이 [[집합의 포함 관계|포함 관계]]에 의한 부분 순서에 대한 극소 원소가 존재한다는 것이다.
* [[추상대수학]]에서, [[극대공약수]]는 [[최대공약수]]를 원소들의 공약수들의 극대원이 유일하지 않을 수 있는 경우로 일반화한 개념이다.
== 같이 보기 ==
* [[최대 원소와 최소 원소]]
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* [[공종 (수학)]] -->
== 바깥 고리 ==
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