부분 순서 집합: 두 판 사이의 차이
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* <math>\forall a\forall b\colon(a\le b)\land(b\le a)\implies a=b</math>
부분 순서의 이론의 [[모형 (논리학)|모형]]은 부분 순서 집합이다.
=== 순서 보존 함수 ===▼
== 예 ==
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네 개의 순서 관계 <math>\le,<,\ge,></math> 중 임의의 하나는 나머지 세 개를 결정짓는다.
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File:Monotonic but nonhomomorphic map between lattices.gif|순서 보존이지만 순서 반사는 아닌 함수
File:Birkhoff120.svg|두 집합 사이의 순서 동형. 왼쪽은 120의 약수들의 집합에 약수 관계에 의한 부분 순서를 갖춘 것, 오른쪽은 120의 약수들의 소수 거듭제곱 형식의 약수들의 집합에 포함 관계에 의한 부분 순서를 갖춘 것.
</gallery>
두 부분 순서 집합 <math>(S,\le)</math>, <math>(T,\le)</math> 사이의 [[순서 보존 사상]] (또는 [[단조 함수]]) <math>f:S\to T</math>는 임의의 <math>x,y\in S</math>에 대해 <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\le f(y)</math>임을 만족하는 함수이다. 즉, 이는 부분 순서 관계를 지닌 두 [[구조 (논리학)|구조]] 사이의 [[준동형]]이다.
임의의 <math>x,y\in S</math>에 대해 <math>f(x)\le f(y)</math>이면 <math>x\le y</math>라는 조건('''순서 반사 사상'''({{llang|en|order-reflecting map}}))을 추가로 만족하면, 즉 임의의 <math>x,y\in S</math>에 대해 <math>x\le y</math>와 <math>f(x)\le f(y)</math>가 동치이면, <math>f</math>를 <math>S</math>와 <math>T</math> 사이의 [[순서 매입 사상]]이라고 하고, 두 부분 순서 집합 <math>S,T</math> 간에 순서 매입 사상이 존재할 때 <math>S</math>를 <math>T</math>에 매입 (또는 끼워넣기) 가능하다고 한다.
또 추가로 순서 매입 사상 <math>f</math>가 [[전단사 함수]]이면, <math>f</math>를 [[순서 동형 사상]]이라고 하며 순서 동형 사상이 존재하는 두 부분 순서 집합 <math>S,T</math>를 순서 동형이라고 한다.
예를 들어, 자연수 집합(약수 관계에 의한 부분 순서)에서 그 [[멱집합]](포함 관계에 의한 부분 순서)으로 가는 함수 <math>f:\N\to\mathcal{P}(\N)</math>가 임의의 자연수를 [[소인수]]들의 집합으로 대응시킨다면, 이는 순서 보존 사상이다. 임의의 자연수는 그의 약수의 소인수를 소인수로 가지기에 그러하다. 하지만 이는 [[단사 함수|단사]]가 아니며 (<math>f(6)=f(12)=\{2,3\}</math>) 순서 반사도 아니다(<math>\{2,3\}\subseteq\{2,3\}</math>, 하지만 <math>12\not\le 6</math>). 자연수를 소수 거듭제곱 형식의 약수들의 집합으로 대응시키는 함수 <math>g:\N\to\mathcal{P}(\N)</math>는 순서 보존, 순서 반사이며 따라서 순서 매입이다, 전단사가 아니므로 (<math>\{4\}</math>의 역상이 존재하지 않는다) 순서 동형은 아니다. 그러나 [[공역 (수학)|공역]]을 <math>g(\N)</math>으로 제한하면 순서 동형이 된다. 집합과 멱집합 사이의 순서 동형은 더 넓은 의미의 부분 순서인 [[분배 격자]]로 일반화할 수 있다. [[버코프의 표현 정리]] 참조.
== 극값 ==
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두 [[정렬 순서]]의 순서합은 여전히 정렬 순서이다.
== 부분 순서의 수 ==
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