"제2 가산 공간"의 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
'''제2[[위상 가산공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''무게'''({{llang|en|weight}}) [[가산<math>w(X)</math>는 집합|가산]]<math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는들의 [[위상집합의 공간크기]] 가운데 최소인 [[기수 (수학)|위상 공간기수]]이다. (기수의 순서는 [[정렬 순서]]이므로 이는 항상 존재한다.)
 
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''제2 가산 공간'''이라고 한다.
* <math>w(X)\le\aleph_0</math>
* <math>X</math>는 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는다.
* <math>X</math> 위의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\mathcal B'\subset\mathcal B</math>이며 기저를 이루는 [[가산 집합]] <math>\mathcal B'</math>이 존재한다.
 
== 성질 ==
* <math>M</math>은 [[린델뢰프 공간]]이다.
 
'''우리손 거리화 정리'''({{llang|en|Urysohn metrization theorem}})에 따르면, 모든 제2 가산 [[정칙 공간]]은 [[거리화 정리|거리화가능 공간]]될 수 있다이다.
 
=== 제2 가산성을 보존하는 연산 ===
제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다. 제2 가산 공간의 [[열린 집합]]의 수는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이다. 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제2 가산 공간이다.
임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 기저 <math>\mathcal B</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>\{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\}</math>는 <math>Y</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
:<math>w(Y)\le w(X)</math>
이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.
 
임의의 [[곱공간]]
:<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math>
및 각 <math>X_i</math> 위의 기저 <math>\mathcal B_i\subseteq\mathcal P(X_i)</math>에 대하여,
:<math>\left\{\prod_{i\in I}B_i
\colon B_i\in\mathcal B_i,\;\{i\in I\colon B_i\ne X_i\}<\aleph_0\right\}</math>
는 <math>X</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
:<math>w(X)\le\sum_{J\subseteq I}^{J<\aleph_0}
\prod_{i\in J}w(X_i)\le
\max\left(\{w(X_i)\colon i\in I\}\cup\{|I|,\aleph_0\}\right)
</math>
이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\kappa</math>개 이하의, 무게가 <math>\kappa</math> 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 <math>\kappa</math> 이하이다.
 
그러나 제2 가산 공간의 [[몫공간]]은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.
 
=== 크기 관련 성질 ===
제2 가산 공간의 [[열린집합]]의 수는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이다.
 
제2 가산 공간 위의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 가산 부분 기저를 갖는다.
 
== 예 ==
흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>
* 힐베르트 차원이 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[힐베르트 공간]]
* [[가산 집합|가산]] [[이산 공간]]
* [[가산 집합|가산]] 개의 [[연결 성분]]을 갖는 [[다양체]] (다양체 = [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 국소 유클리드 공간)
 
[[긴 직선]]은 [[T4 공간|T<sub>4</sub>]] [[제1 가산 공간]]이지만, 제2 가산 공간이 아니다.
 
[[이산 공간]]의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 모든 가능한 [[한원소 집합]]들로 구성된다. 따라서, [[이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 그 [[집합의 크기]]와 같다.
:<math>w(X)=|X|</math>
특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 [[동치]]이다.
 
[[비이산 공간]] <math>X</math>의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 ([[공집합]]이 아닐 경우) <math>|X|</math>이다. 따라서, [[비이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 다음과 같다.
:<math>w(X)=\min\{1,|X|\}</math>
특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.
 
== 참고 문헌 ==