비이산 공간: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''비이산 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>의 [[열린집합]]은 공집합 및 <math>X</math> 전체 밖에 없다.
* <math>X</math>의 [[콜모고로프 몫]]은 [[한원소 공간]]이다.
* <math>X</math>를 [[공역]]으로 하는 모든 함수는 [[연속 함수]]이다. 즉, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math> 및 임의의 [[함수]] <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* [[공집합]]이 아닌 <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 <math>X</math>이다.
[[범주론]]적으로, 위상 공간의 [[구체적 범주]]의 망각 함자 <math>F\colon \operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>는 [[오른쪽 수반 함자]]
:<math>I\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}</math>
:<math>F\dashv I</math>
를 가지며, 이 함자를 '''비이산 함자'''라고 한다. 집합 <math>S</math>의 <math>I</math>에 대한 [[상 (수학)|상]] <math>I(S)</math>는 <math>S</math> 위의 비이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]는 [[이산 공간]] 함자이다.)
== 성질 ==
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* [[경로 연결 공간]]이다.
* [[콤팩트 공간]]이다.
* [[완비 정규 공간]]이다. (따라서
* [[제2 가산 공간]]이다. (따라서 [[린델뢰프 공간]]이며, [[분해 가능 공간]]이며, [[제1 가산 공간]]이다.)
▲* <math>X</math>의 모든 [[점렬]]은 모든 점으로 수렴한다.
▲* [[공집합]]이 아닌 <math>X</math>의 모든 집합은 [[조밀 집합]]이다.
▲* <math>X</math>가 아닌 <math>X</math>의 모든 부분 집합의 [[내부 (위상수학)|내부]]는 [[공집합]]이다.
* [[베르 공간]]이다.
== 참고 문헌 ==
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* {{매스월드|id=TrivialTopology|title=Trivial topology}}
[[분류:위상 공간]]
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