퀴네트 정리: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
2번째 줄:
== 정의 ==
===
<math>X</math>와 <math>Y</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하고, <math>H_\bullet(-;K)</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 계수를 가진 [[특이 호몰로지]]라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>\bigoplus_{i+j=k}H_i(X;K)\otimes_K H_j(Y;K)\cong H_k(X\times Y;K)</math>
15번째 줄:
여기서 좌변은 [[등급환]]의 <math>K</math>-[[텐서곱]]이다.
===
만약 계수가 체가 아닌 일반적인 [[가환환]]인 경우, 퀴네트 정리는 [[꼬임 부분군|꼬임]] 때문에 더 복잡해진다.
21번째 줄:
:<math>0\to\bigoplus_{i+j=k}H_i(X;R)\otimes H_j(Y;R)\to H_k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k-1}\operatorname{Tor}^R_1(H_i(X;R),H_j(Y;R))\to0</math>
여기서 <math>\operatorname{Tor}</math>는 [[Tor 함자]]다. 이 짧은 완전열은 [[분할 완전열]]이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.
=== 일반적 계수 ===
임의의 [[가환환]] <math>R</math> 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 '''퀴네트 [[스펙트럼 열]]'''({{llang|en|Künneth spectral sequence}}) <math>E_{\bullet\bullet}^\bullet</math>로 표현된다. 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 [[Tor 함자]]이다.
:<math>E_{pq}^2 = \bigoplus_{q_1 + q_2 = q} \mathrm{Tor}^R_p(H_{q_1}(X; R), H_{q_2}(Y; R))</math>
이 [[스펙트럼 열]]은 [[곱공간]]의 호몰로지로 수렴한다.
:<math>E_{pq}^2 \Rightarrow E_{pq}^\infty\cong H_{p+q}(X \times Y; R)</math>
== 역사 ==
| |||