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[[대수학]]에서, '''다항식환'''(多項式環, {{llang|en|polynomial ring}})은 어떤 주어진 [[환 (수학)|환]]을의 원소를 계수로 하는 [[다항식]]들로 구성된 [[환 (수학)|환]]이다.
== 정의F[''x''] ==
[[체 (수학)|체]] <math>F</math>위의 '''다항식환''' <math>(F[x], +, \cdot)</math>는,
정수 <math>n</math>이 <math>0</math>보다 크거나 같고, <math>a_0, a_1, \cdots, a_n</math>을 <math>n+1</math>개의 [[실수]] 혹은 [[복소수]]인 상수일 때, 변수 <math>x</math>의 거듭제곱과 <math>a_0, a_1, \cdots, a_n</math>의 곱의 합으로 표현되는 식
:<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=\sum_{k=0}^n {a_kx^k}\quad(x^0=1)</math>
를 '''변수 <math>x</math>에 대한 계수가 상수인 일변수 다항식'''(univariate polynomial with constant coefficient with respect to <math>x</math>)이라 하며, 일반적으로 '''<math>x</math>에 대한 다항식'''(polynomial with respect to <math>x</math>)이라 한다.
* <math>a_m\ne 0</math>인 최대의 정수 <math>m</math>을 다항식 <math>P(x)</math>의 '''차수'''(次數, degree)라고 하며 <math>\deg P=m</math>이라 쓴다.
* 다항식 <math>P(x)</math>를 이루고 있는 <math>a_kx^k</math>를 '''항'''(項, terms)이 하며, <math>k</math>를 그 항의 '''차수'''라 한다. 혹은, 다항식 <math>P(x)</math>의 <math>k</math>차 항을 <math>a_kx^k</math>라 한다.
* <math>m=\deg P</math>인 정수 <math>m</math>에 대하여 <math>a_mx^m</math>을 다항식 <math>P(x)</math>의 '''최고차항'''(最高次項, leading term)이라 한다.
* 변수 <math>x</math>의 거듭제곱 <math>x^k</math>에 곱하여진 상수 <math>a_k</math>를 <math>x^k</math>의 '''계수'''(係数, coefficient)라 한다.
* <math>x</math>에 대한 <math>0</math>차항 <math>a_0</math>를 '''상수항'''([[:en:Constant term|constant term]])이라 한다. 상수 하나는 상수항으로만 이루어진 다항식이라 할 수 있다.
:<math>p = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\ (a_i \in F,\ n \ne 0 \Rightarrow a_n \ne 0,\ p \ne 0 \Rightarrow \deg p := n)</math>
추상대수학에서, <math>x</math>에 대한 다항식 <math>P(x)</math>의 모든 계수 <math>a_i</math>가 어떤 [[환_(수학)|환]] <math>K</math>의 원소일 때, 다항식 <math>P(x)</math>의 집합을 <math>K[x]</math>라 쓴다. 예를 들어, 모든 실계수 다항식의 집합은 <math>\mathbb{R}[x]</math>, 모든 복소계수 다항식의 집합은 <math>\mathbb{C}[x]</math> 등으로 표기한다.
이 때, 집합 <math>K</math>가 [[가환환]]이면 집합 <math>K[x]</math>는 <math>K</math>-대수이다.
(단 <math>x</math>는 형식적 기호)꼴의 표현식들의 집합 <math>F[x]</math>와
== 환 위의 다항식환 ==
:<math>\textstyle p + q = \sum_{i=0}^n (a_i + b_i) x^i,\ pq = \sum_{i=0}^{n+m} \sum_{j + k = i} a_jb_kx^i
\ (q \in F,\ q = \sum_{i=0}^m b_ix^i,\ m \le n)</math>
로 정의된 두 [[이항연산]] <math>+, \cdot</math>로 이루어진 환이다. 이와 동치이며 더 편리함을 주는 정의법도 존재한다(바로 아래 문단의 정의법으로, <math>F[x]</math>에도 그대로 적용된다)
== R[''x''] ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 '''다항식환''' <math>R[x]</math>는 집합으로서
:<math>\{p\in R^{\mathbb N}\ \colon\ |\{n\in\mathbb N\colon p_rp_n\ne0\}|<\infty\}</math>
이다. 원소
:<math>(r_0,r_1,r_2,\dots)</math>
를
:<math>r_0+r_1x+r_2x^2+\cdots=\sum_{n=0}^nr_nx\infty r_nx^n</math>
로 쓰자. 이 집합에서 덧셈은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 <math>R</math>-[[가군]]의 구조가 존재한다.
:<math>\left(\sum_{n=0}^\infty r_nx^n\right)s=\left(\sum_{n=0}^\infty r_nsx^n\right)</math>
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