순서 위상: 두 판 사이의 차이
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== 성질 ==
순서 위상을 준 [[전순서 집합]]은 항상 [[완비 정규 공간|완비 정규]] [[하우스도르프 공간]]이다.
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math>가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.
* ([[정규 공간|정규성]]) 임의의 두 서로소 [[닫힌집합]]은 서로소 [[근방]]을 갖는다. ([[전순서 집합]]의 부분 집합 역시 순서 위상을 갖는 [[전순서 집합]]이므로, 만약 <math>X</math>가 정규 공간이라면 이는 [[완비 정규 공간]]이다.)
* ([[T1 공간|T<sub>1</sub>]]) [[한원소 집합]]은 [[닫힌집합]]이다.
'''정규성''': 순서 위상에서 [[닫힌집합]]은 다음 4가지 가운데 하나와 같은 꼴이다.
:<math>(-\infty,b]</math>
:<math>[a,b]</math>
:<math>[a,\infty)</math>
:<math>(-\infty,\infty)</math>
이 가운데, <math>a<b</math>라면 <math>(-\infty,a],[b,\infty)</math>는 서로소 닫힌집합이다. 이 경우,
:<math>U_1=(-\infty,b)\setminus(a,b)</math>
:<math>U_2=(a,\infty)\setminus(a,b)</math>
는 이들을 분리하는 서로소 [[열린 근방]]이다. 나머지 경우들(예를 들어, <math>[a,b],[c,d]</math>, <math>a\le b<c\le d</math>)도 마찬가지로 해결된다.
'''T<sub>1</sub>''': 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여,
:<math>\{x\}=[x,x]=X\setminus\left((-\infty,x)\cup(x,\infty)\right)</math>
이므로 [[한원소 집합]] <math>\{x\}</math>는 [[닫힌집합]]이다.
</div>
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유한 [[전순서 집합]] 위의 순서 위상은 [[이산 위상]]이다.
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