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수열: 두 판 사이의 차이

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[[파일:Cauchy sequence illustration2.svg|섬네일|오른쪽|300px|실수의 무한수열]]
 
[[수학]]에서, '''열수열'''(數列, {{lang|en|sequence}}) 또는 '''수열열'''(數列, {{llang|en|sequence}})은 [[수 (수학)|수]], 또는 다른 [[수학적 대상]]의대상의 순서있는 나열이다.<ref>{{매스월드|urlname=Sequence|제목=Sequence}}</ref> 수열은 나열 순서를 생각해야 하고, 중복이 허용된다는 점에서, 대상들을 단순히 (순서 없이) 모아놓은 [[집합]]과 구분된다.
 
* 양의 [[홀수]]의 열:크기 순 나열 1, 3, 5, 7, 9,...은 11,수열의 13, ..예이다.▼
* 한국어의 자음 일곱 개의 열: ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ▼
* 'ㄱ', 'ㄴ'의 순서를 바꾼: ㄴ, ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ▼
 
은 둘 다 한국어의 자음 일곱 개가 정확히 한 번씩 나오지만, 순서가 달라 다른 수열이다.▼
 
▲* 양의 [[홀수]]의 열: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
* 3을 한 번 더 나열한: 1, 3, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...▼
 
는 둘 다 양의 홀수를 나열한 수열이지만, 3이 중복되어있어 다른 수열이다.
 
수열은 [[자연수]]의 집합에 정의된 [[함수]]라고 할 수 있다.
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{{참고|점화식|귀납적 정의}}
 
구체적인 수열을 정의하는 방법 중 하나는 귀납적(재귀적) 정의법이다. 먼저 처음 몇 항의 값을 정하고, 그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식을 통해 정의한다. [[피보나치일반항 수열]]공식에 (1,의한 1,수열의 2,정의가 3,임의의 5,''a<sub>n</sub>''과 8,''n'' 13,사이의 ...관계(''a<sub>n</sub>''‒''n'' 관계)은를 사용한다면, 귀납적 정의가정의법은 선호되는임의의 수열의''a<sub>n</sub>''과 전형적인''a''<sub>1</sub>부터 예이다:''a''<sub>''n'' 처음- 두1</sub>까지의 항은항들 둘사이의 다관계를 1이고,사용한다. 셋째일부 항수열의 뒤부터는경우, 두''a<sub>n</sub>''‒''n'' 인접관계가 항을귀납적 더한관계보다 합을간명하지 그않거나, 바로더 다음항으로발견되기 정의한다, 즉어렵다.
 
[[피보나치 수열]] (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)은 귀납적 정의할 수 있는 수열의 전형적인 예이다. 처음 두 항은 둘 다 1이고, 셋째 항 뒤부터는 두 인접 항을 더한 합을 그 바로 다음항으로 정의한다. 즉,
 
:<math>a_1 = a_2 = 1,</math>
:<math>a_{n+2} = a_{n+1} + a_n.</math>
 
피보나치 수열의 일반항 공식
일반항 공식에 의한 수열의 정의가 임의의 ''a<sub>n</sub>''과 ''n'' 사이의 관계(''a<sub>n</sub>''‒''n'' 관계)를 사용한다면, 귀납적 정의법은 임의의 ''a<sub>n</sub>''과 ''a''<sub>1</sub>부터 ''a''<sub>''n'' - 1</sub>까지의 항들 사이의 관계를 사용한다. ''a<sub>n</sub>''‒''n'' 관계가 귀납적 관계가 보다 간명하지 않거나, 더 발견되기 어려운 경우는 상당히 많다. 피보나치 수열의 일반항 공식
 
:<math>a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\,\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right)</math>
 
은 귀납적 정의보다 훨씬 더 복잡하고 알아내기 어렵다.
 
수열의 귀납적 정의의 유효성은 [[자연수 위의 귀납 정리]]가 보장한다.
 
== 예 ==
▲은다음 둘두 다(유한) 수열은 한국어의 자음 일곱 개가 정확히 한 번씩 나오지만, 순서가 달라 다른 수열이다.
 
▲* 한국어의 자음 일곱 개의 열: ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ
▲* 'ㄱ', 'ㄴ'의 순서를 바꾼: ㄴ, ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ
 
다음 두 (무한) 수열은 양의 홀수 전체를 나열하지만, 3의 중복 여부가 달라 다른 수열이다.
 
: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
▲* 3을 한 번 더 나열한: 1, 3, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
 
다음은 몇 가지 [[정수열]]의 예이다.
 
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|-
|2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
|양의 짝수열. 각 항 간의 [[뺄셈|차]]가 일정하다. ([[등차수열]]).
|-
|3, 9, 27, 81, 243, ...
|3의 거듭제곱들의 수열. 각 항 간의 [[비 (수학)|비]]가 일정하다. ([[등비수열]]).
|-
|2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
줄 113 ⟶ 119:
* 진동 발산, 즉 상수로도, 양과 음의 무한대로도 한없이 가까워지지 않음.
 
수열 <math>a_n = \frac{1}{n}</math>은 수렴수열의 예이다.

: <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0</math>
 
== 수열로부터 새 수열 만들기 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/수열"