위상 공간 (수학): 두 판 사이의 차이
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:<math>F\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>F\colon (X,\mathcal T)\mapsto X</math>
를 통해, <math>\operatorname{Top}</math>은 [[구체적 범주]]를 이룬다. 이 망각 함자는 좌 · 우 [[수반 함자]]를 갖는다.
:<math>D\dashv F\dashv I</math>
여기서
89번째 줄:
좀 더 복잡한 위상 공간의 경우, 다양한 구조로서 위상들을 정의할 수 있다.
* [[전순서]]가 주어졌을 때, 이를 사용하여 '''[[순서 위상]]'''을 정의할 수 있다. [[실수]]의 집합의 표준적인 위상은 그 표준적 전순서에 대한 순서 위상이다.
* [[거리 함수]]가 주어졌을 때, 이를 사용하여 '''[[거리 위상]]'''을 정의할 수 있다. [[실수]]의 집합이나 [[복소수]]의 집합 위에, 두 수의 차의 [[절댓값]]은 거리 함수이며, 이에 대한 거리 위상은 실수 · 복소수 집합의 표준 위상이다.
* 어떤 집합을 [[곱집합]] <math>\textstyle\prod_iS_i</math>로 나타내었을 때, 각 <math>S_i</math>에 위상을 정의하면 곱집합 전체에 '''[[곱위상]]'''이라는 위상을 줄 수 있다.
* 어떤 집합 위에, 열린집합으로 삼고 싶은 집합족 <math>\mathcal S</math>가 존재한다면, 이들을 포함하는 가장 거친 위상을 줄 수 있다. 이러한 집합족을 '''[[기저 (위상수학)|부분 기저]]'''라고 한다.
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위상 공간은 [[근방]]의 개념 밖에는 다른 정보를 추가적으로 담고 있지 않다. 이에 대하여 여러 다른 정보를 추가하여, 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다.
* 두 점 사이의 거리의 개념을 추가하면, '''[[거리 공간]]'''을 얻는다.
* 집합의 넓이 · 부피의 개념을 추가하면, '''[[보렐 집합|보렐]] [[측도 공간]]''' 또는 '''[[라돈 측도|라돈 측도 공간]]'''을 얻는다.
* [[매끄러운 함수]]의 개념을 추가하면, '''[[매끄러운 다양체]]'''를 얻는다.
* [[군 (수학)|군]]의 구조를 추가하면, '''[[위상군]]''' 또는 '''[[리 군]]'''을 얻는다.
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