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조밀 집합: 두 판 사이의 차이

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[[일반위상수학]]에서, '''조밀 집합'''(稠密集合, {{llang|en|dense set}})은 어떤 공간을 "조밀하게"‘조밀하게’ 채우는 [[부분 집합]]이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 [[그물 (수학)|그물]]의 [[극한]]으로 나타낼 수 있다.
 
== 정의 ==
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임의의 위상 공간 <math>X</math> 속의 조밀 집합 <math>D\subseteq X</math> 및 <math>D\subseteq E\subseteq X</math>에 대하여, <math>E</math> 역시 <math>D</math>의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 <math>\operatorname{Dense}(X)\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>은 <math>X</math>의 [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(X)</math> 속의 [[상집합]]이다.
 
특히, 조밀 집합들의 합집합은[[합집합]]은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이[[교집합]]이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 <math>D</math>와 조밀 [[열린집합]] <math>U</math>가 주어졌을 때, 그 교집합 <math>D\cap U</math>는 조밀 집합이다.
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'''증명:'''
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임의의 [[열린집합]] <math>V\subseteq X</math>가 주어졌으며, <math>V\ne\varnothing</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>U</math>가 조밀 열린집합이므로[[열린집합]]이므로 <math>U\cap V\ne\varnothing</math>이며, 따라서 <math>D\cap(U\cap V)\ne\varnothing</math>이다.
</div></div>
특히, 조밀 [[열린집합]]들의 족 <math>\operatorname{Dense}(X)\cap\operatorname{Open}(X)</math>은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(X)</math> 속의 [[필터 (수학)|필터]]를 이룬다.
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/조밀_집합"