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일반위상수학에서, 조밀 집합(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물극한으로 나타낼 수 있다.

정의편집

위상 공간  의 부분 집합  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.

  • 임의의 열린집합  에 대하여, 만약  라면  이다.
  • 임의의 닫힌집합  에 대하여, 만약  라면  이다.
  •  .[1]:191, §30[2]:7, §1 여기서  폐포이다.
  •  . 여기서  내부이다.
  • 모든   의 모든 근방  에 대하여,  .
  •  의 모든 점들은  의 원소이거나  극한점이다.[2]:7, §1

성질편집

연산에 대한 닫힘편집

임의의 위상 공간   속의 조밀 집합   에 대하여,   역시  의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족   멱집합   속의 상집합이다.

특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합  와 조밀 열린집합  가 주어졌을 때, 그 교집합  는 조밀 집합이다.

증명:

임의의 열린집합  가 주어졌으며,  이라고 하자. 그렇다면  가 조밀 열린집합이므로  이며, 따라서  이다.

특히, 조밀 열린집합들의 족  은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합   속의 필터를 이룬다.

임의의 두 위상 공간  ,   사이의 전사 연속 함수  가 주어졌을 때, 조밀 집합     역시 조밀 집합이다.

증명:

임의의  에 대하여,  전사 함수이므로   가 존재하며,  가 조밀 집합이므로  로 수렴하는 그물  가 존재하며,  연속 함수이므로  이다. 따라서   의 조밀 집합이다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약  이며,   의 조밀 집합이고   의 조밀 집합이라면   의 조밀 집합이다.

함의 관계편집

모든 조밀 집합은 조밀한 곳이 없는 집합여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.

조밀 집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합

조밀 집합은 연속 함수를 결정한다편집

임의의 위상 공간  하우스도르프 공간   및 조밀 집합  와 두 연속 함수  가 주어졌다고 하자. 만약  라면,  이다. (여기서  은 함수의 제한을 뜻한다.)

증명:

임의의  에 대하여,  임을 보이면 족하다.  가 조밀 집합이므로,  로 수렴하는,   속의 점들로 구성된 그물  가 존재한다.  가 연속 함수이므로

 
 

이며,  하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서  이다.

편집

위상 공간  는 스스로의 조밀 집합이다. 반면,   전체가 아닌  의 모든 닫힌집합 의 조밀 집합이 아니다.

유한 부분 집합의 여집합편집

자기 조밀 T1 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합여집합은 조밀 열린집합이다.

증명:

조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의  에 대하여  가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다.

  •  T1 조건에 의하여 열린집합이다.
  •  자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서  이며,  는 조밀 집합이다.

이산 공간편집

위상 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 이산 공간이다.
  • 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론   전체이다.)

증명:

이산 공간  에서 조밀 집합이   전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간  이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합  가 존재한다. 그렇다면,   의 조밀 집합이다.

비이산 공간편집

위상 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

증명:

비이산 공간  에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로,  가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합  가 존재한다고 하자. 그렇다면  는 조밀 집합이 아니다.

실수선의 조밀 집합편집

실수선  의 부분 집합들을 생각하자.

  • 유리수의 집합  는 실수선의 조밀 집합이다.
  • 무리수의 집합   역시 실수선의 조밀 집합이다.
  • 반면, 자연수의 집합  , 정수의 집합   의 조밀 집합이 아니다.

임의의 세 실수  에 대하여,    안의 조밀 집합이다.

참고 문헌편집

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. 

외부 링크편집