"제2 가산 공간"의 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''무게'''({{llang|en|weight}}) <math>w\operatorname{wt}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]들의 [[집합의 크기]] 가운데 최소인 [[기수 (수학)|기수]]이다. (기수의 순서는[[전순서]]는 [[정렬 순서전순서]]이므로 이는 항상 존재한다.)
 
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''제2 가산 공간'''이라고 한다.
* <math>w\operatorname{wt}(X)\le\aleph_0</math>
* <math>X</math>는 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는다.
* <math>X</math> 위의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\mathcal B'\subset\mathcal B</math>이며 기저를 이루는 [[가산 집합]] <math>\mathcal B'</math>이 존재한다.
* <math>M</math>은 [[린델뢰프 공간]]이다.
 
'''[[우리손 거리화 정리]]'''({{llang|en|Urysohn metrization theorem}})에 따르면, 모든 제2 가산 [[정칙 공간]]은 [[유사 거리화 가능 공간]]이며, 모든 제2 가산 [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]은 [[거리화 가능 공간]]이다.
 
=== 연산에 대한 닫힘 ===
=== 제2 가산성을 보존하는 연산 ===
==== 부분 공간 ====
임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 기저 <math>\mathcal B</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>\{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\}</math>는 <math>Y</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
:<math>w\operatorname{wt}(Y)\le w\operatorname{wt}(X)</math>
이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.
 
==== 몫공간 ====
제2 가산 공간의 [[몫공간]]은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 <Math>X</math> 및 [[열린집합]] <math>U</math>에 대하여, 동치 관계
:<math>x\sim y\iff x=y\lor x\in U\ni y</math>
를 주었을 때, [[몫공간]] <math>X/\sim=X/U</math>은 역시 제2 가산 공간이다.
 
==== 곱공간 ====
임의의 [[곱공간]]
:<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math>
\colon B_i\in\mathcal B_i,\;\{i\in I\colon B_i\ne X_i\}<\aleph_0\right\}</math>
는 <math>X</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
:<math>w\operatorname{wt}(X)\le\sum_{J\subseteq I}^{J<\aleph_0}
\prod_{i\in J}w\operatorname{wt}(X_i)\le
\max\left(\{w\operatorname{wt}(X_i)\colon i\in I\}\cup\{|I|,\aleph_0\}\right)
</math>
이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제2 가산 공간이며, 임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\kappa</math>개 이하의, 무게가 <math>\kappa</math> 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 <math>\kappa</math> 이하이다.
 
그러나 제2 가산 공간의 [[몫공간]]은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.
 
==== 분리합집합 ====
위상 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[분리합집합]]
:<math>X=\bigsqcup_{i\in I}X_i</math>
의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.
:<math>w\operatorname{wt}(X)=\sum_{i\in I}w\operatorname{wt}(X_i)</math>
따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[분리합집합]]은 제2 가산 공간이다. 그러나 [[비가산]] 개의 위상 공간들의 [[분리합집합]]은 (위상 공간들이 [[공집합]]이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.
 
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>
* 힐베르트 차원이 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[힐베르트 공간]]
* [[가산 집합|가산]] 개의 [[연결 성분]]을 갖는 [[다양체]] (다양체 = [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 유클리드 공간]])
 
[[긴 직선]]은 [[T4 공간|T<sub>4</sub>]] [[제1 가산 공간]]이지만, 제2 가산 공간이 아니다.
 
=== 이산 공간 ===
[[이산 공간]]의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 모든 가능한 [[한원소 집합]]들로 구성된다. 따라서, [[이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 그 [[집합의 크기]]와 같다.
:<math>w(X)=|X|</math>
특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 [[가산 집합인집합]]인 것과 [[동치]]이다.
 
=== 비이산 공간 ===
[[비이산 공간]] <math>X</math>의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 ([[공집합]]이 아닐 경우) <math>\{X\}</math>이다. 따라서, [[비이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 다음과 같다.
:<math>w(X)=\min\{1,|X|\}</math>
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr. | 성2= Seebach |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}
 
== 같이 보기 ==
* [[제1 가산 공간]]
* [[분해 가능 공간]]
 
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Second axiom of countability}}
* {{매스월드|id=SecondCountableTopology|title=Second countable topology}}
* {{nlab|id=second-countable space|title=Second-countable space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Second-countable_space|제목=Second-countable space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Second-Countable_Space|제목=Definition: second-countable space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{nlab|id=second-countable space|title=Second-countable space}}
 
[[분류:위상 공간의 성질]]