2016년 9월 15일 (목) 08:49 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 →‎바깥 고리 ← 이전 편집		2016년 9월 15일 (목) 12:21 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
2번째 줄: == 정의 == [[위상 공간 (수학)\|위상 공간]] <math>X</math>의 '''무게'''({{llang\|en\|weight}}) <math>w\operatorname{wt}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)\|기저]]들의 [[집합의 크기]] 가운데 최소인 [[기수 (수학)\|기수]]이다. (기수의 ~~순서는~~[[전순서]]는 [[정렬 순서전순서]]이므로 이는 항상 존재한다.) 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''제2 가산 공간'''이라고 한다. * <math>w\operatorname{wt}(X)\le\aleph_0</math> * <math>X</math>는 [[가산 집합\|가산]] [[기저 (위상수학)\|기저]]를 갖는다. * <math>X</math> 위의 임의의 [[기저 (위상수학)\|기저]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\mathcal B'\subset\mathcal B</math>이며 기저를 이루는 [[가산 집합]] <math>\mathcal B'</math>이 존재한다. 20번째 줄: * <math>M</math>은 [[린델뢰프 공간]]이다. '''[[우리손 거리화 정리]]'''~~({{llang\|en\|Urysohn metrization theorem}})~~에 따르면, 모든 제2 가산 [[정칙 공간]]은 [[유사 거리화 가능 공간]]이며, 모든 제2 가산 [[정칙 공간\|정칙]] [[하우스도르프 공간]]은 [[거리화 가능 공간]]이다. === 연산에 대한 닫힘 === ~~=== 제2 가산성을 보존하는 연산 ===~~ ==== 부분 공간 ==== 임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 기저 <math>\mathcal B</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>\{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\}</math>는 <math>Y</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서 :<math>w\operatorname{wt}(Y)\le w\operatorname{wt}(X)</math> 이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다. ==== 몫공간 ==== 제2 가산 공간의 [[몫공간]]은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 <Math>X</math> 및 [[열린집합]] <math>U</math>에 대하여, 동치 관계 :<math>x\sim y\iff x=y\lor x\in U\ni y</math> 를 주었을 때, [[몫공간]] <math>X/\sim=X/U</math>은 역시 제2 가산 공간이다. ==== 곱공간 ==== 임의의 [[곱공간]] :<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math> 줄 33 ⟶ 40: \colon B_i\in\mathcal B_i,\;\{i\in I\colon B_i\ne X_i\}<\aleph_0\right\}</math> 는 <math>X</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서 :<math>w\operatorname{wt}(X)\le\sum_{J\subseteq I}^{J<\aleph_0} \prod_{i\in J}w\operatorname{wt}(X_i)\le \max\left(\{w\operatorname{wt}(X_i)\colon i\in I\}\cup\{\|I\|,\aleph_0\}\right) </math> 이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제2 가산 공간이며, 임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\kappa</math>개 이하의, 무게가 <math>\kappa</math> 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 <math>\kappa</math> 이하이다. ~~그러나 제2 가산 공간의 [[몫공간]]은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.~~ ==== 분리합집합 ==== 위상 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[분리합집합]] :<math>X=\bigsqcup_{i\in I}X_i</math> 의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다. :<math>w\operatorname{wt}(X)=\sum_{i\in I}w\operatorname{wt}(X_i)</math> 따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[분리합집합]]은 제2 가산 공간이다. 그러나 [[비가산]] 개의 위상 공간들의 [[분리합집합]]은 (위상 공간들이 [[공집합]]이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다. 줄 56 ⟶ 62: * [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> * 힐베르트 차원이 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[힐베르트 공간]] * [[가산 집합\|가산]] 개의 [[연결 성분]]을 갖는 [[다양체]] (다양체 = [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간\|하우스도르프]] [[국소 유클리드 공간]]) [[긴 직선]]은 [[T4 공간\|T<sub>4</sub>]] [[제1 가산 공간]]이지만, 제2 가산 공간이 아니다. === 이산 공간 === [[이산 공간]]의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)\|기저]]는 모든 가능한 [[한원소 집합]]들로 구성된다. 따라서, [[이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 그 [[집합의 크기]]와 같다. :<math>w(X)=\|X\|</math> 특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 [[가산 ~~집합인~~집합]]인 것과 [[동치]]이다. === 비이산 공간 === [[비이산 공간]] <math>X</math>의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)\|기저]]는 ([[공집합]]이 아닐 경우) <math>\{X\}</math>이다. 따라서, [[비이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 다음과 같다. :<math>w(X)=\min\{1,\|X\|\}</math> 줄 70 ⟶ 78: == 참고 문헌 == * {{서적 인용 \| last=Steen \| first=Lynn Arthur \| 이름2=J. Arthur, Jr. \| 성2= Seebach \|제목=Counterexamples in topology \| 날짜=1978 \| publisher=Springer \| isbn= 978-0-387-90312-5 \| mr=507446 \| zbl = 0386.54001 \| 판=2판 \| doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 \| 언어=en}} ~~== 같이 보기 ==~~ * [[제1 가산 공간]] * [[분해 가능 공간]] == 바깥 고리 == * {{eom\|title=Second axiom of countability}} * {{매스월드\|id=SecondCountableTopology\|title=Second countable topology}} * {{nlab\|id=second-countable space\|title=Second-countable space}}▼ * {{웹 인용\|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Second-countable_space\|제목=Second-countable space\|웹사이트=Topospaces\|언어=en}} * {{웹 인용\|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Second-Countable_Space\|제목=Definition: second-countable space\|웹사이트=ProofWiki\|언어=en}} ▲* {{nlab\|id=second-countable space\|title=Second-countable space}} [[분류:위상 공간의 성질]]

제2 가산 공간: 두 판 사이의 차이