함수: 두 판 사이의 차이
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{{본문|전사 함수}}
만약 <math>f</math>가 공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소를 대응시킨다면, (즉, 치역이 공역과 같다면,) <math>f</math>를 '''전사 함수''' 또는 '''위로의 함수'''라고 한다.<ref name="이상구"/> 예를 들어, 함수
:<math>G\colon\{1,2,3,4\}\to\{D,B,C\}</math>
:<math>G\colon1\mapsto D;2\mapsto B;3,4\mapsto C</math>
는 전사 함수이다.
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:<math>g\circ f\colon X\to Z</math>
:<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))\qquad(\forall x\in X)</math>
즉, 먼저 <math>
=== 제한과 확장 ===
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:<math>f=(X_1,Y_1,\operatorname{graph}f)</math>
:<math>g=(X_2,Y_2,\operatorname{graph}g)</math>
의 "합집합"은 [[이항 관계]]
에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족하는 두 함수를 서로 '''일치'''한다고 한다.▼
이다. 마찬가지로 함수들의 족의 "합집합"을 정의할 수 있다.
▲두 함수 <math>f,g</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족하는 두 함수를 서로 '''일치'''한다고 한다.
* <math>f\cup g</math>가 여전히 함수이다.
* 임의의 <math>x\in X_1\cap X_2</math>에 대하여, <math>f(x)=g(x)</math>이다.
특히, 정의역이 [[서로소 집합]]인 두 함수는 서로 일치한다.
보다 일반적으로, 함수들의 족 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]
* <math>\bigcup\mathcal F</math>가 여전히 함수이다.
* 임의의 <math>f,g\in\mathcal F</math>가 서로 일치한다.
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함수의 현대적 정의는 [[게오르크 칸토어]]가 제기한 [[집합론]]에 기반한 것이다. [[버트런드 러셀]]은 [[집합]]을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 재정의하였다.<ref>[http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/index The Principles of Mathematics]</ref>
[[이선란]]은 저서 《대수학》({{zh|s=代数学|t=代數學}})에서 오늘날 한국어 및 중국어에서 쓰이는 용어인 "함수"({{zh|t=函數|s=函数|p=hánshù|h=한슈}})를 최초로 사용하였다. 일본어에서는 "{{lang|ja|函}}" 글자가 [[당용한자|1946년 상용 한자 목록]]에 포함되지 않았으므로, 일본어에서 같은 음을 갖는 글자 "関"를 사용하여 "칸스우"({{llang|ja|関数| かんすう}})로 표기하게 되었다.
{{인용문2|이 변수가 저 변수를 포함한다면, 이는 저의 함수이다.<br />
{{lang|zh-Hant|凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數。}}}}
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