순서수: 두 판 사이의 차이

두 [[정렬 전순서 집합]] <math>(S,\le)</math>와 <math>(T,\le)</math>가 주어졌다고 하고, <math>S</math>의 순서형이 <math>\alpha</math>, <math>T</math>의 순서형이 <math>\beta</math>라고 하자. (폰 노이만 정의에서는 <math>S=\alpha</math>, <math>T=\beta</math>로 놓을 수 있다.)

 

[[서로소 합집합]] <math>S\sqcup T</math>에 다음과 같은 [[정렬 순서]]를 주자.

:<math>s\le t\qquad\forall s\in S,\;t\in T</math>

이다.

 

[[곱집합]] <math>T\times S</math>에 [[사전식 순서]]를 주자. 그렇다면 순서수의 '''곱''' <math>\alpha\beta</math>는 <math>T\times S</math>의 순서형이다.

 

:<math>(\omega+1)2=\omega+1+\omega+1=\omega2+1<\omega2+2</math>

 

[[직합]]

:<math>S^{\oplus T}=\left\{x\in\prod_{i\in T}S\colon|\{i\in T\colon x_i\ne0\}|<\aleph_0\right\}</math>

:<math>2^\omega=\omega</math>

 

임의의 서수 <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>에 대하여 다음이 성립한다.

* <math>\alpha+\beta<\alpha+\gamma</math>와 <math>\beta<\gamma</math>는 [[동치]]이다.