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실수: 두 판 사이의 차이

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{{다른 뜻}}
 
[[수학]]에서, '''실수'''(實數, {{llang|en|real number}})는 주로 [[실직선]] 상의위의 점, 또는 [[십진법]] 전개로 주로 표현되는 수 체계이다. 예를 들어, -1, 0, {{수직분수|2}} [[루트 2|{{수학|{{근호|2}}}}]], ''[[e (상수)|e]]'', [[원주율|π]] 등은 모두 실수이다.
 
실수에 대해대하여 [[사칙연산사칙 연산]], 즉 ([[덧셈]], · [[뺄셈]], · [[곱셈]], · [[나눗셈]])을 행할실행할 수 있다. 실수는 [[부등식|크기 비교]]가 가능한데가능하며, 실직선에서 더 왼쪽에 있는 수가 더 오른쪽에 있는 수보다 작다. 특별히특히, 실수를 0과 비교하여,실수는 그보다0보다 큰 [[양수 (수학)|양수]], 그보다· 0보다 작은 [[음수]]로 나누는· 것은0으로 실수의분류된다. 한또한, 실수는 [[정수]]의 [[비 (수학)|비]]인 [[유리수]]와 그렇지 않은 [[무리수]]로도 분류되며, 정수 계수 [[다항식의 근]]인 [[대수적 수]]와 그렇지 않은 [[초월수]]로도 분류된다. 실직선은 [[복소 평면]]의 일부로 볼 수 있으며, 이 경우 실수는 [[허수]]와 함께 [[복소수]]를 분류법이다이룬다.
 
공리적으로, 실수는 [[실수의 완비성|완비]] [[순서체]]로 정의되며, 이는 [[동형]] 의미 아래 유일하다. 구성적으로, 실수는 유리수 [[코시 수열]]의 [[동치류]] · [[데데킨트 절단]] · 십진법 전개의 동치류로서 구성된다. [[실수의 완비성]]은 공집합이 아닌 실수 [[유계 집합]]이 항상 [[상한과 하한]]을 갖는다는 성질이다. 이는 [[유리수]]와 구별되는 중요한 성질이다.
[[정수]]의 [[비 (수학)|비]]인 [[유리수]]와 그렇지 않은 [[무리수]]로도 나뉘며, 정수 계수 [[다항식]]의 [[근 (수학)|근]]인 [[대수적 수]]와 그렇지 않은 [[초월수]]로도 나뉜다. 실직선은 [[복소평면]]의 일부로 볼 수 있으며, 이때 실수는 [[허수]]와 함께 [[복소수]]를 이룬다.
 
실수 집합은 [[비가산 집합]]이다. 즉, [[자연수]] 집합과 실수 집합은 둘다 [[무한 집합]]이나, 그 사이에 [[일대일 대응]]이 존재하지 않는다. 실수 [[집합의 크기]]는 자연수 집합의 크기보다 크다. [[연속체 가설]]은 자연수 집합보다 크며 실수 집합보다 작은 크기를 갖는 실수 [[부분 집합]]이 존재하지 않는다는 명제이다. 연속체 가설은 ZFC(즉, [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]])에서 증명할 수도, 반증할 수도 없으며, 연속체 가설을 만족하거나, 그 부정을 만족하는 ZFC의 [[모형 (논리학)|모형]]이 모두 존재한다.
실수는 공리적으로 ([[동형]] 의미 하에) 유일한 [[완비 거리 공간|완비]] [[전순서|순서]][[체 (수학)|체]]로 정의된다. 유리수 [[코시 열]]의 [[동치류]], [[데데킨트 절단]], 또는 십진법 전개식 등으로서 실수를 구성할 수도 있다. [[실수의 완비성]]([[상계와 하계|상계]]가 있는 실수의 비지 않은 [[부분집합]]에 항상 [[상한과 하한|상한]]이 존재한다는 성질)은 유리수와 구별되는 중요한 성질이다.
 
== 역사 ==
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== 정의 ==
{{본문|실수의 구성}}▼
실수 <math>(\R, +, \cdot, <)</math>는 [[공리계|공리적]]으로 기술하거나, 유리수 등으로부터 [[구성주의 (수학)|구성]]하여 정의할 수 있다.
 
=== 공리적 방법 ===
실수는 다음과 같은 공리를 만족하는 수 체계이다.
{{본문|실수 공리}}
* <math>\R</math>은 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.▼
* <math>\R</math>은 [[순서체]]를 이룬다. 즉, [[전순서]]를 갖추며, 이는 아래덧셈 성질을및 만족한다곱셈과 조화를 이룬다.▼
* [[실수의 완비성|완비적]]이다. 즉, 공집합이 아닌 실수 부분 집합이 [[상계 (수학)|상계]]를 갖는다면, 항상 [[상한]]을 갖는다.
마지막 성질인 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 [[동형]] 의미 하에 유일하다.▼
 
=== 구성적 방법 ===
공리적으로, 대개 실수 <math>\R</math>는 다음 조건을 만족하는 수 체계로 기술된다.
실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 실수는 실수 공리계의 [[모형 (논리학)|모형]]을 이룬다. 즉, 실수 공리계의 모든 공리들을 만족한다.
* [[유리수]] [[코시 수열]]의 "거리가 0으로 수렴"하는 [[동치 관계]]에 대한 [[동치류]]. 즉, 유리수의 표준 [[거리 공간]]에 대한 [[완비화]]이다.
* 유리수에 대한 [[데데킨트 절단]].
* 십진법 전개의 [[동치류]]. 예를 들어, 1과 [[0.999...]]는 서로 동치이다.
 
== 성질 ==▼
▲* <math>\R</math>은 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.
=== 사칙 연산 ===
▲* <math>\R</math>은 [[순서체]]를 이룬다. 즉, [[전순서]]를 갖추며, 이는 아래 성질을 만족한다.
실수 집합 위에는 덧셈 +, 뺄셈 -, 곱셈 ×, 나눗셈 ÷이 정의되어 있으며, 이들은 [[교환 법칙]], [[결합 법칙]], [[분배 법칙]]을 만족한다.
** 만약 <math>x \ge y</math>이면 <math>x + z \ge y + z</math>
** 만약 <math>x \ge 0</math>, <math>y \ge 0</math>이면 <math>xy \ge 0</math>
* 순서는 완비적이다. 즉 공집합이 아니고 상계가 존재하는 임의의 <math>S \subseteq \R</math>에 [[최소상계]]([[상한]])가 존재한다.
 
=== 순서 ===
▲마지막 성질인 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 [[동형]] 의미 하에 유일하다.
실수 집합은 [[아르키메데스 성질]]을 만족한다.
 
=== 구성적위상수학적 방법성질 ===
실수 집합 위에는 표준적인 [[거리 공간]] · [[노름 공간]] · [[내적 공간]] · [[위상 공간]] 구조를 부여할 수 있다.
▲{{본문|실수의 구성}}
 
실수 집합 위의 표준적인 위상은 [[순서 위상]]이다.
실수를 이를테면 코시 유리수열에 대한 동치류, 또는 유리수에 대한 데데킨트 절단이라 규정하고, 이에 기초해 덧셈, 곱셈, 순서 구조를 정립하여 실수를 구성할 수 있다.<!--
 
▲== 성질 ==
 
실수 부분 집합 <math>S\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
-->
* [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]이다.
* [[콤팩트 집합]]이다. 즉, 모든 [[열린집합|열린]] [[덮개 (위상수학)|덮개]]가 유한 부분 덮개를 갖는다.
* [[점렬 콤팩트 집합]]이다. 즉, 그 속의 모든 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다.
* [[극한점 콤팩트 집합]]이다. 즉, 모든 무한 부분 집합이 [[극한점]]을 갖는다.
사실, 모든 [[유클리드 공간]]에 대하여, 위 네 조건은 서로 동치이며, 모든 [[거리 공간]]에 대하여, 뒤 세 조건은 서로 동치이다.
 
== 같이 보기 ==
줄 46 ⟶ 57:
* [[실해석학]]
 
== 바깥고리바깥 고리 ==
* {{네이버캐스트|2083|자연수 VS 실수}}
 
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/실수"