사차 방정식: 두 판 사이의 차이
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:<math> D= (-1)^{12\over 2} a_4^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{6} a_4^{-1} M </math>
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=== 실베스터 행렬의 [[종결식]]을 사용한 4차방정식의 판별식 유도 ===
4차 방정식의 [[판별식]]은 16개항으로 이루어져 있다.
[[소행렬식]]에 의한 [[4차 방정식]]의 판별식 유도
:<math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e =0</math>에 대한 [[실베스터 행렬]] <math>M=(2n-1)\cdot(2n-1)</math>
:<math> M= \begin{vmatrix} a & b & c & d & e & 0 & 0 \\
0 & a & b & c & d & e & 0 \\
0 & 0 & a & b & c & d & e \\
4a & 3b & 2c & 1d & 0e & 0 & 0 \\
0 & 4a & 3b & 2c & 1d & 0e & 0 \\
0 & 0 & 4a & 3b & 2c & 1d & 0e \\
0e & 0 & 0 & 4a & 3b & 2c & 1d \\ \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} a & b & c & d & e & 0 & 0 \\
0 & a & b & c & d & e & 0 \\
0 & 0 & a & b & c & d & e \\
4a & 3b & 2c & d & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4a & 3b & 2c & d & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4a & 3b & 2c & d & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4a & 3b & 2c & d \\ \end{vmatrix}
</math>
:<math> a \begin{vmatrix} b & 0 \\ 2a & b \end{vmatrix}= a(b^2-02a) </math>
:<math> -b \begin{vmatrix} 2a & 0 \\ 0 & b \end{vmatrix} = -b(2ab-0^2)</math>
:<math> c \begin{vmatrix} 2a & b \\ 0 & 2a \end{vmatrix}=c((2a)^2-0b)</math>
:<math>a \begin{vmatrix} b & 0 \\ 2a & b \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} 2a & 0 \\ 0 & b \end{vmatrix} +c \begin{vmatrix} 2a & b \\ 0 & 2a \end{vmatrix}= a(b^2-02a) -b(2ab-0^2)+c((2a)^2-0b)</math>
:<math> ab^2-02a^2 -2ab^2+0^2b+c4a^2-0bc</math>
:<math> ab^2-2ab^2+c4a^2</math>
:<math>\therefore M =-ab^2+4a^2 c</math>
:<math> D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} M </math>
:<math>\therefore D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} (-ab^2+4ca^2)</math>
:<math>\quad = -a^{-1}(-ab^2+4ca^2)= {(-ab^2+4ca^2) \over -a}= b^2-4ca </math>
:<math> D= b^2-4ca </math>
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== 같이 보기 ==
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