사차 방정식

사차 방정식(Quartic equation)이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

4차함수의 그래프

와 같다. 여기에서 는 각각 계수라고 한다. 상수항이라고 부른다.

역사편집

페라리는 1540년에 해법을 발견하였지만, 그 해법은 중간에 삼차방정식을 푸는 과정을 포함하였고, 그리하여 즉시 발표할 수 없었다. 사차방정식의 해법은 삼차방정식의 해법과 함께 페라리의 스승인 카르다노의 책에서 발표된다.

해법편집

 

이 방정식에서 양변을  의 최고차항인  로 나눈 다음   라고 두면   꼴로 차 고차항을 치른하우스 변형으로 압축 정리(zipping)할 수 있다.

 

한편,  의 완전제곱식을 풀면,  이 되므로

 의 나머지인 를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 만든다.
 이 된다.

이번에는 우변에 미지수  를 제공하고   에 대해 정리하면,

 

우변 이차방정식판별식,  이되면, 우변은 완전제곱식을 만족하겠다.

이것은  에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어  의 3근   를 구한다음  을 대입한다.

  에의해
  이므로,
 
 이다.

이로써, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되겠다.

이렇게, 사차방정식은 두 개의 완전제곱식이차방정식으로 분해된다.

양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면,

 

근의 공식으로부터  

그리고,  , 이므로

4근은,

 
 

이다.

일반적인 경우편집

 

양변을  의 최고차항인  로 나눈 다음   라고 두고   형태로 정리한다.

 

여기서,  , 치환

 
 

전개하면,

 

여기서,  , 치환 한것을

  , 풀어주면
 
 
 
 


근과 계수의 관계에서,

  를 대입하면,
 
 
 
 
 

따라서, z로 3차방정식을 가정하여 정리하면,

 

이것의 3차방정식을 풀면 근은 각 각  이고,

다시 이것의 제곱근  가 서로 곱해서,

 가 되는 값이 각각 근의 가 되고,

이어서,
 가 되고,

이것으로 가 되겠다.

끝으로 정리하면, 4차방정식의 네근  에의해 ,
 가 되겠다.

특수한 경우편집

복이차방정식편집

사차 방정식 중 짝수 차수만 있는 방정식을 복이차방정식(Biquadratic equations)이라고 한다.  으로 치환해 이차방정식의 풀이를 이용해 푼다.

 
 

상반방정식편집

계수가 대칭적인 형태로 되어 있는 방정식을 상반방정식(Symmetric equations)이라고 한다. 사차방정식의 경우는 다음과 같다.

 

이 경우 양변을  으로 나누어  를 치환해주면 이차방정식으로 변환된다.

 
 
 
이차방정식 근의 공식으로부터,
  , 이고
 , 이므로

 

 ,

 ,

 ,

 
따라서, 역시 근의 공식을 적용하면,
  이므로, 여기에  를 대입하여 정리하면,
 

 의 4근을 갖는다.


좀 더 일반적으로 준상반방정식(Quasi-symmetric equations)

 

의 경우  으로 치환해주면 된다.

이항방정식편집

 의 꼴이다.

특히  의 경우는, 근의 계수  를 교착해서 4개의 근이 구해진다.


인수분해 (곱셈공식 적용)편집

 로 예약했을때,
 
 
 
 

꼴로 인수분해와 2차방정식으로 풀수있다.

근과 계수의 관계편집

사차방정식  의 네 근을  라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립한다.

 
 
 
 

이것은 이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수와의 관계증명을 사용하면, 대수학의 기본정리에따라  차방정식은  개의 근을 갖고, 따라서,  개의 근  를 예정하고, 이를  차방정식의 인수분해식으로 놓으면,  이 되고, 다항식으로 전개하면,  

 

이므로, 서로 근의 정보와 계수 정보와의 상관관계를 보여주고 있다.

4차 방정식의 판별식편집

4차 방정식의 판별식은 16개항으로 이루어져 있다.

실베스터 행렬종결식을 사용한 소행렬식라플라스 전개로 4차방정식의 판별식 유도가 가능하다.

 
 으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬  


 
 
 
 
 
 
 
 

같이 보기편집