이차 방정식: 두 판 사이의 차이
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근의공식의 다른형태와 유도과정 정리 |
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:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math>이다.
이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다
:<math>x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}</math>, 단 <math>c \ne 0</math>일 경우에만 성립한다.<ref>물론, 이차방정식이므로 <math>a\neq0</math>도 만족해야한다.</ref>
여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 <math>b^2 - 4ac</math>를 이 이차방정식의 [[판별식]]이라고 하며, 주로 <math>D</math>로 나타낸다.
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=== 근의 공식의 유도 ===
이차방정식의 근의 공식의 유도과정은
아이디어는 좌변을 [[완전제곱식]]으로 만드는 것이다.<br />
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제곱근을 취하면
:<math>\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math>
:<math>x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}</math> (단, <math>a\neq0</math>)
가 얻어진다.
이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다.<br />▼
다른 형태의 근의공식의 유도과정은 다음과 같다.
마찬가지로, 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.
<math>ax^2+bx+c=0</math>에서, 양변을 <math>x^2</math>로 나눈다. 이렇게 <math>a</math>를 상수항으로 만든다.
<math>a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}=0</math>
이 얻어지고, 상수항을 우변으로 이항한다.
<math>\frac{c}{x^2}+\frac{b}{x}=-a</math>
양변에 <math>4c</math>를 곱하고,
<math>\frac{4c^2}{x^2}+\frac{4bc}{x}=-4ac</math>
좌변을 완전제곱식으로 바꾸기 위해 양변에 <math>b^2</math>을 더한다.
<math>\frac{4c^2}{x^2}+\frac{4bc}{x}+b^2=-4ac-b^2</math>
<math>(\frac{2c}{x}+b)^2=b^2-4ac</math>
제곱근을 취하면
<math display="inline">\frac{2c}{x}+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}</math>
<math display="inline">2c=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})x</math>
<math>x=\frac{2c}{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}</math> (단, <math>a\neq0, \ c\neq0</math>)
가 얻어진다.
<br />
또한 판별식 <math> D= b^2 -4ac</math>가 <math>0</math>일때, 즉 <br />
<math>b^2 -4ac =0 </math> 은
<math>D=\left( {b \over a} \right)^2 -4 \left( {b \over 2a} \right)^2 =0 </math>
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