칸토어 집합: 두 판 사이의 차이
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이다.
== 칸토어집합의 농도 계산 ==
칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 제외되는 구간의 길이
:<math>{1 \over 3},{2\over9},{4\over27},\dots=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1</math>
칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 제외되지않는 구간의 길이
:우선, <math>[0,1]</math>을 예약한다.
:<math>[0, 1]</math> 구간을 <math>3</math>등분한 후, 가운데 구간을 제외하면 <math>\left({ 1 \over 3}, { 2 \over 3} \right)=\left[0, \frac 1 3 \right] \cup \left[\frac 2 3, 1 \right]=2^1 \times {{1}\over{3^1}}</math>
:두 구간 <math>\left[0, \frac 1 3 \right]</math>, <math>\left[\frac 2 3, 1 \right]</math>에서 또 다시 각각의 가운데 구간을 제외하면,
:<math>\left[0, \frac 1 9 \right] \cup \left[\frac 2 9, \frac 1 3 \right] \cup \left[\frac 2 3, \frac 7 9 \right] \cup \left[\frac 8 9, 1 \right]</math>
<math>= \left[0, { 1 \over 3^2} \right] \cup \left[{2 \over 3^2}, {3 \over 3^2} \right] \cup \left[{6\over 3^2}, {7 \over 3^2} \right] \cup \left[{8 \over 3^2}, 1 \right] =2^2 \times {{1}\over{3^2}}</math>
:계속해서
: 따라서 <math>2^n \times {{1}\over{3^n}}=\lim_{n={1 \to \infty}}{2^n \over 3^n}=\lim_{n \to \infty}\left({2 \over 3} \right)^n=0</math>
따라서, 칸토어집합의 원소들의 합은 <math>0</math>이다.
따라서, 칸토어는 <math>{2 \over3}</math>보다 상대적으로 작은 값 <math>{1 \over3}</math>이 전체의 값 <math>1</math>이 되어짐을 보임으로서
<math>{1 \over3}</math>보다 상대적으로 큰 값 <math>{2 \over3}</math>가 <math>0</math>이 되어짐을 보여준다.
== 함께보기 ==
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