수학에서, 칸토어 집합(영어: Cantor set)은 0과 1 사이의 실수로 이루어진 집합으로, 부터 시작하여 각 구간을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어집니다.

칸토어 집합을 제작하기 위해 7번 반복한 과정입니다.

정의편집

칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.

  1. 처음 구간은  에서 시작한다.
  2.   구간을 3등분한 후, 가운데 개구간  을 제외한다. 그러면  가 남는다.
  3. 두 구간  ,  의 가운데 구간을 제외한다.  
  4. 계속해서 반복한다.

또는, 앞 단계의 구간을  크기로 줄인 다음 두 개를 배치하는 방식으로도 같은 집합을 얻을 수 있다. 즉,

 

이 된다.

성질편집

크기편집

칸토어 집합에 포함되는 수는 삼진법 소수로 표기했을 때 모든 자릿수가 0 또는 2가 된다. 이것은 칸토어 집합을 만드는 각 단계마다 자릿수에 1이 있는 수를 점차적으로 제거하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에는  가 빠지고, 두 번째 단계에는   가 빠지는 과정이 계속해서 일어난다. 또한 이것을 이용해 칸토어 집합의 수를 0과 1 사이의 모든 실수와 일대일 대응시킬 수 있는데, 3진수 각 자릿수의 2를 2진수에서의 1로 대응한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

따라서 칸토어 집합은 비가산 집합이며, 크기가  이다.

측도 및 위상수학적 성질편집

칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는  이 된다. 이 길이를 모두 합하면

 

이 된다. 즉, 칸토어 집합은 르베그 측도가 0이다. 또한, 칸토어 집합은 조밀한 곳이 없는 집합이며, 완전 집합이다.

프랙탈 성질편집

칸토어 집합은 자기닮음 성질을 가지고 있는 프랙털이다. 칸토어 집합을 ⅓ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다. 따라서 칸토어 집합의 하우스도르프 차원

 

이다.

칸토어집합의 농도 계산편집

칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 제외되는 구간의 길이

 

칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 제외되지않는 구간의 길이

우선,  을 예약한다.
  구간을  등분한 후, 가운데 구간을 제외하면  
두 구간  ,  에서 또 다시 각각의 가운데 구간을 제외하면,
 

 

계속해서 반복해 나아가면, 은 칸토어 집합의 원소들의 값이 되고,
따라서  

따라서, 칸토어집합의 원소들의 합은  이다. 따라서, 칸토어는  보다 상대적으로 작은 값  이 전체의 값  이 됨을 보임으로써  보다 상대적으로 큰 값   이 됨을 보여준다. 따라서,칸토어집합은  이면서 무한한 그리고  의 보다 작을수있는 비가산 기수의 집합을 보여준다.

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외부 링크편집