극한 (범주론): 두 판 사이의 차이

J와<math>J</math>와 C가<math>C</math>가 범주이고 F가<math>F\colon J에서J\to C로의C</math>가 [[함자 (수학)|함자]]이며 N이<math>N</math>이 C의<math>C</math>의 대상이라 하자. 이때 함자 F의 [[함자의<math>F</math>의 '''뿔'''({{llang|뿔]]en|cone}})이란 J의<math>J</math>의 임의의 대상 X에<math>X</math>에 대해 N에 다음의 조건을다음을 만족하는 사상 ψ<submath>XN</submath>과 :사상 <math>\psi_X\colon N →\to F(X)가 주어진 것이다</math>이다:

:* <math>J</math>의 임의의 사상 <math>f :\colon X →\to Y ∈ J에</math>에 대해 <math>F(f) o ψ_X \circ\psi_X= ψ<sub>Y\psi_Y</submath>.

함자의 '''극한'''이란 한마디로 [['''보편뿔]]'''({{llang|en|universal cone}})이다. 구체적으로 말해, F의<math>F</math>의 뿔 <math>(L, φ<sub>X\phi_X)</submath>)이 F의<math>F</math>의 극한이라는 것은 F의<math>F</math>의 임의의 뿔 <math>(N, ψ<sub>X\psi_X)</submath>)에 대해 유일한 사상 <math>u\colon :L\to N → L이</math>이 존재해서 모든 X에 대해 φ<submath>X</submath>에 o대해 u = ψ<submath>X\phi_X\circ u=\psi_X</submath>을 만족시키는 경우를 말한다. 이를 두고 사상 ψ<submath>X\psi_X</submath>들이 L을<math>L</math>을 통해 u로<math>u</math>로 유일유일하게 분해된다고 말할 수도 있다.