에르미트 수반: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
<math>K</math>가 <math>\mathbb R</math> 또는 <math>\mathbb C</math>라고 하자. <math>K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>(\mathcal H,\langle\cdot|\cdot\rangle)</math>의 [[조밀집합|조밀]] 부분공간 <math>\operatorname{dom}A\subset\mathcal H</math>에 정의된 [[선형변환]] <math>A\colon\operatorname{dom}A\to\mathcal H</math>의 '''수반'''({{llang|en|adjoint}}) <math>A^*</math>은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 [[리스 표현 정리]]에 따라 유일하다. 만약 <math>\operatorname{dom}A</math>가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.)<ref name="Teschl">{{서적 인용 |이름=Gerald |성=Teschl |제목=Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators |출판사=American Mathematical Society |총서=Graduate Studies in Mathematics|권=99|날짜=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |zbl=1166.81004|mr=2499016|isbn=978-0-8218-4660-5|언어=en}}</ref>{{rp|59}}▼
임의의 두 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <Math>V</math>, <math>W</math> 사이의 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>A\colon V\to W</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>A</math>의 '''에르미트 수반'''은 다음과 같은 <Math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>A^*\colon W'\to V'</math>
:<math>A^*\phi\colon v\mapsto \phi(Av)\qquad(\forall \phi\in W',\;v\in V)</math>
여기서 <math>V'</math>와 <math>W'</math>은 [[연속 쌍대 공간]]을 뜻한다.
만약 <math>V</math> 또는 <math>W</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]이라면, 자연스러운 동형 사상 <math>V'\cong\bar V</math>, <math>W'\cong\bar V</math>가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 <math>\bar W\to\bar V</math>가 된다.
=== 부분 정의 작용소의 경우 ===
<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math>, <math>W</math>가 주어졌으며, <math>V</math> 속의 [[조밀 집합|조밀]] 부분 <math>\mathbb K</math>-벡터 공간 <math>D\subseteq V</math> 위에 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]
:<math>A\colon D\to W</math>
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 [[선형 변환]]
:<math>A^*\colon W'\to D'</math>
을 얻을 수 있다. 그러나 <math>D'\supseteq V'</math>이므로, 만약 [[공역 (수학)|공역]]이 <math>V'</math>이 되게 하려면 [[정의역]]을 적절한 부분 공간 <Math>E\subseteq W'</math>으로 제한하여야 한다.
이 경우, <math>E\subseteq W'</math>를 다음과 <math>\phi\circ A</math>가 유한 [[유계 작용소]]가 되게 하는 <math>\phi\in W'</math>들의 공간으로 정의하자.
:<math>\phi\in E\iff
\|\phi\circ A\|=\sup_{v\in D\setminus\{0\}}\frac{|\phi(Av)|}{\|v\|_V}<\infty</math>
그렇다면, 정의에 따라, 임의의 <math>\phi\in E</math>에 대하여,
:<math>\phi\circ A\colon D\to\mathbb K</math>
는 <math>D</math> 위의 [[유계 작용소]]이다. 즉, <math>\phi\circ A\in D'</math>이며, 이는 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]
:<math>(\circ A)\colon E\to D'</math>
을 정의한다. 사실, [[한-바나흐 정리]]에 따라, 임의의 <Math>\phi\in E</math>에 대하여 <math>\phi\circ A</math>는 사실 <math>V'\subseteq D'</math>에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉, <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]
:<math>A^*\colon E\to V'</math>
이 존재한다. 이를 <math>A</math>의 '''에르미트 수반'''이라고 한다.
=== 힐베르트 공간 위의 부분 정의 작용소의 경우 ===
▲
* <math>\operatorname{dom}A^*=\{u\in\mathcal H|\forall v\in\operatorname{dom}A\exists\tilde u\in\mathcal H\colon\langle u|Av\rangle=\langle\tilde u|v\rangle\}</math>
* <math>\forall v\in\operatorname{dom}A\colon \langle A^*u|v\rangle=\langle u|Av\rangle</math>
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일반적으로, <math>\operatorname{dom}A</math>가 조밀하더라도 <math>\operatorname{dom}A^*</math>는 조밀하지 못할 수 있다.<ref name="Teschl"/>{{rp|59}}
<math>A</math> 및 <math>A'</math>이 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 전체에 정의된 [[유계 작용소]]라고 하고, <math>\lambda,\lambda'\in\mathbb K</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
* <math>\operatorname{dom}A=\operatorname{dom}A^*=\mathcal H</math>
* <math>A^{**}=A</math>
줄 17 ⟶ 45:
* <math>\|A^*A\|=\|A\|^2</math>
유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 (<math>\mathbb K=\mathbb R</math>인 경우) [[
== 참고 문헌 ==
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