에르미트 수반

작용소 이론에서 에르미트 수반(Hermite隨伴, 영어: Hermitian adjoint)은 행렬의 켤레전치의 개념을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 일반화시킨 개념이다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

임의의 두 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $V$, $W$ 사이의 $\mathbb {K}$-선형 변환 $A\colon V\to W$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$의 에르미트 수반은 다음과 같은 $\mathbb {K}$-선형 변환이다.

$A^{*}\colon W'\to V'$

$A^{*}\phi \colon v\mapsto \phi (Av)\qquad (\forall \phi \in W',\;v\in V)$

여기서 $V'$와 $W'$은 연속 쌍대 공간을 뜻한다.

만약 $V$ 또는 $W$가 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상 $V'\cong {\bar {V}}$, $W'\cong {\bar {V}}$가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은 ${\bar {W}}\to {\bar {V}}$가 된다.

부분 정의 작용소의 경우

$\mathbb {K}$-바나흐 공간 $V$, $W$가 주어졌으며, $V$ 속의 조밀 부분 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $D\subseteq V$ 위에 $\mathbb {K}$-선형 변환

$A\colon D\to W$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 선형 변환

$A^{*}\colon W'\to D'$

을 얻을 수 있다. 그러나 $D'\supseteq V'$이므로, 만약 공역이 $V'$이 되게 하려면 정의역을 적절한 부분 공간 $E\subseteq W'$으로 제한하여야 한다.

이 경우, $E\subseteq W'$를 다음과 $\phi \circ A$가 유한 유계 작용소가 되게 하는 $\phi \in W'$들의 공간으로 정의하자.

$\phi \in E\iff \|\phi \circ A\|=\sup _{v\in D\setminus \{0\}}{\frac {|\phi (Av)|}{\|v\|_{V}}}<\infty$

그렇다면, 정의에 따라, 임의의 $\phi \in E$에 대하여,

$\phi \circ A\colon D\to \mathbb {K}$

는 $D$ 위의 유계 작용소이다. 즉, $\phi \circ A\in D'$이며, 이는 $\mathbb {K}$-선형 변환

$(\circ A)\colon E\to D'$

을 정의한다. 사실, 한-바나흐 정리에 따라, 임의의 $\phi \in E$에 대하여 $\phi \circ A$는 사실 $V'\subseteq D'$에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉, $\mathbb {K}$-선형 변환

$A^{*}\colon E\to V'$

이 존재한다. 이를 $A$의 에르미트 수반이라고 한다.

힐베르트 공간 위의 부분 정의 작용소의 경우

$\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $({\mathcal {H}},\langle \cdot |\cdot \rangle )$의 조밀 부분공간 $\operatorname {dom} A\subset {\mathcal {H}}$에 정의된 선형변환 $A\colon \operatorname {dom} A\to {\mathcal {H}}$의 수반(영어: adjoint) $A^{*}$은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약 $\operatorname {dom} A$가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.)^:59

• $\operatorname {dom} A^{*}=\{u\in {\mathcal {H}}|\forall v\in \operatorname {dom} A\exists {\tilde {u}}\in {\mathcal {H}}\colon \langle u|Av\rangle =\langle {\tilde {u}}|v\rangle \}$
• $\forall v\in \operatorname {dom} A\colon \langle A^{*}u|v\rangle =\langle u|Av\rangle$

성질

일반적으로, $\operatorname {dom} A$가 조밀하더라도 $\operatorname {dom} A^{*}$는 조밀하지 못할 수 있다.^:59

$A$ 및 $A'$이 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 전체에 정의된 유계 작용소라고 하고, $\lambda ,\lambda '\in \mathbb {K}$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

• $\operatorname {dom} A=\operatorname {dom} A^{*}={\mathcal {H}}$
• $A^{**}=A$
• $(\lambda A+\lambda A')^{*}={\bar {\lambda }}A^{*}+{\bar {\lambda }}'A'^{*}$
• $(AA')^{*}=A'^{*}A^{*}$
• $\|A\|=\|A^{*}\|$ ($\|\cdot \|$는 작용소 노름)
• $\|A^{*}A\|=\|A\|^{2}$

유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 ($\mathbb {K} =\mathbb {R}$인 경우) 대칭 행렬이거나 ($\mathbb {K} =\mathbb {C}$인 경우) 에르미트 행렬이다.

외부 링크

• “Adjoint operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 자기 수반 작용소