에르미트 수반

작용소 이론에서, 에르미트 수반(Hermite隨伴, 영어: Hermitian adjoint)은 행렬켤레전치의 개념을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 일반화시킨 개념이다.

정의편집

 가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

임의의 두  -바나흐 공간  ,   사이의  -선형 변환  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  에르미트 수반은 다음과 같은  -선형 변환이다.

 
 

여기서   연속 쌍대 공간을 뜻한다.

만약   또는   -힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상  ,  가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은  가 된다.

부분 정의 작용소의 경우편집

 -바나흐 공간  ,  가 주어졌으며,   속의 조밀 부분  -벡터 공간   위에  -선형 변환

 

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 선형 변환

 

을 얻을 수 있다. 그러나  이므로, 만약 공역 이 되게 하려면 정의역을 적절한 부분 공간  으로 제한하여야 한다.

이 경우,  를 다음과  가 유한 유계 작용소가 되게 하는  들의 공간으로 정의하자.

 

그렇다면, 정의에 따라, 임의의  에 대하여,

 

  위의 유계 작용소이다. 즉,  이며, 이는  -선형 변환

 

을 정의한다. 사실, 한-바나흐 정리에 따라, 임의의  에 대하여  는 사실  에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉,  -선형 변환

 

이 존재한다. 이를  에르미트 수반이라고 한다.

힐베르트 공간 위의 부분 정의 작용소의 경우편집

 -힐베르트 공간  조밀 부분공간  에 정의된 선형변환  수반(영어: adjoint)  은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약  가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.)[1]:59

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성질편집

일반적으로,  가 조밀하더라도  는 조밀하지 못할 수 있다.[1]:59

   -힐베르트 공간   전체에 정의된 유계 작용소라고 하고,  라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

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  •   ( 작용소 노름)
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유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 ( 인 경우) 대칭 행렬이거나 ( 인 경우) 에르미트 행렬이다.

참고 문헌편집

  1. Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004. 

외부 링크편집

같이 보기편집