급수 (수학): 두 판 사이의 차이

[[수학]]에서, '''급수'''(級數, {{llang|en|series}}, {{수학|∑''a_n''}})는 [[수열]]의 모든 항을 더한 것이다. 항의 개수가 유한한 '''유한 급수유한급수'''(有限級數, {{llang|en|finite series}})와 항의 개수가 무한한 '''[[무한]] 급수무한급수'''(無限級數, {{llang|en|infinite series}})로 분류된다. 무한 급수의무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수를 '''수렴 급수수렴급수'''와 그렇지 않은 '''발산 급수'''로 분류된다. 급수의 항은 [[실수]] · [[복소수]], 또는 [[벡터]] · [[행렬]] · [[함수]] · [[난수]] 등일 수 있으며, 이들은 주로 [[공식]]이나 [[알고리즘]]으로 표현된다. 유한 급수는유한급수는 [[대수학]]의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, [[무한]] 급수에무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 [[해석학 (수학)|해석학]]적 수단, 특히 [[극한]]의 개념을 필요로 한다.

부분합의 수열 <math>\textstyle\left(\sum_{n=0}^N a_n\right)_{N=0}^\infty</math>이 수렴하면 이 급수를 '''[[수렴 급수수렴급수]]''', 그렇지 않다면 '''[[발산 급수]]'''라고 한다. 수렴 급수수렴급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>의 '''합'''은, 그 부분합의 [[수열의 극한|극한]]이며, 이 역시 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>로 표기한다. 즉,

<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n|</math>도 수렴하는 수렴 급수를수렴급수를 '''[[절대 수렴 급수수렴급수]]''', 그렇지 않은 수렴 급수를수렴급수를 '''[[조건 수렴 급수수렴급수]]'''라고 한다.

수렴 급수가수렴급수가 아닌 급수를 [[발산 급수]]라고 한다.

절대 수렴 급수가수렴급수가 아닌 수렴 급수를수렴급수를 보고 [[조건 수렴 급수수렴급수]]라고 한다.

예를 들어, [[교대 급수교대급수]]

는 자기 자신은 수렴 급수이나수렴급수이나, 절댓값을 취한 [[조화 급수조화급수]]는 발산 급수이므로, 조건 수렴 급수이다수렴급수이다.

급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math>에 항별로 절댓값을 취한 급수 <math>\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|</math>이 수렴 급수라면수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴 급수가수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 [[절대 수렴 급수수렴급수]]라고 한다.

예를 들어, [[기하 급수기하급수]]

는 자기 자신이 수렴 급수이며수렴급수이며, 절댓값을 취한

도 수렴 급수이므로수렴급수이므로, 절대 수렴 급수이다수렴급수이다.