2017년 2월 13일 (월) 21:36 판 편집 Pk0001 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 30,399 편집 →‎자연수가 아닌 경우의 정의 ← 이전 편집		2017년 7월 12일 (수) 15:08 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[수학]]에서, [[자연수]]의 '''계승'''(階乘, {{문화어\|차례곱}}, {{llang\|en\|factorial\|팩토리얼}})은 1부터 그 수까지의 모든 자연수의 곱이다. [[수학]]에서, '''계승'''(階乘, {{llang\|en\|factorial\|팩토리얼}}, {{문화어\|'''차례곱'''}})은 [[1]]부터 <math>n</math>까지의 연속된 [[자연수]]를 차례로 곱한 값이다. [[기호]]로는 <math>n!</math>과 같이 [[느낌표]]('''!''')를 사용하며, 이는 한국에서 간혹 "팩토리얼(줄여서 팩)"로 읽는 경우가 있다. 이를테면 3!은 "3팩(토리얼)"이 된다. == 정의 == 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 '''계승''' <math>n!</math>은 다음과 같다. ~~계승 함수는 아래와 같이 형식적으로 정의한다.~~ :<math>n!=\prod_{k=1}^nk=n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1</math> 특히, 0의 계승은 1이다. :<math>0!=1</math> 처음 몇 계승은 다음과 같다. :1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... {{OEIS\|A000142}} === 복소수의 계승 === ~~:<math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{for all }n \ge 0 \!</math>~~ ~~예를 들면,~~ ~~:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120</math>~~ ~~따라서,~~ ~~:<math>5! = 5 \times 4 \times 3! = 120</math>~~ ~~:<math>5! = {}_5P_{2} \times 3! = 120</math>~~ ~~:<math>5! = {}_5P_{2} \times (n-2)! = 120</math>~~ ~~:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2! = 120</math>~~ ~~:<math>5! = {}_5P_{3} \times (n-3)! = 120</math>~~ ~~따라서,~~ ~~:<math>n! = {}_nP_{k}\cdot (n-k)! </math>~~ ~~:<math> {}_nP_{k}= {n! \over (n-k)!} </math>~~ ~~또한 0에 대해서는~~ ~~:<math>0! = 1 \ </math>~~ ~~로 정의한다. 이 정의는 다음과 같은 이유에서 매우 유용하다.~~ * 계승의 [[점화식]] (''n'' + 1)! = ''n''! × (''n'' + 1) 이 ''n'' = 0 일 때까지 성립한다. * 이 정의는 [[조합론]]에 등장하는 많은 공식에서 크기가 0인 집합에까지 식을 일반화한다. * 팩토리얼(계승)의 정의는 [[순열]]의 정의를 만족한다. ~~'''이중 계승'''({{llang\|en\|double factorial}})은 다음과 같이 정의된다.~~ ~~:<math>(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1)=\frac{(2k)!}{2^k k!}</math>~~ ~~:<math>(2k)!!= \prod_{i=1}^k (2i) = 2^k k!</math>~~ ~~=== 자연수가 아닌 경우의 정의 ===~~ {{본문\|감마 함수}} ~~[[파일:Generalized factorial function.svg\|thumb\|right\|325px\|~~[[감마 함수]]를 ~~사용하여,~~통해 계승의 정의역을 음의 정수가 아닌 ~~복소수에~~[[복소수]]까지 ~~대하여~~[[해석적 ~~계승을~~연속\|확장]]할 수 있다. 감마 함수 <math>~~z!=~~\Gamma~~(z+~~</math>의 정의역은 <math>\mathbb C\setminus\{0,-1),-2,\dots\}</math>으로이며, ~~정의할~~양의 수실수부에서의 있다값은 다음과 같다.]] :<math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt\qquad(\operatorname{Re}z>0)</math> 감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다. :<math>n!=\Gamma(n+1)\qquad(n\in\mathbb N)</math> 이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 <math>z</math>의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다. :<math>z!=\Gamma(z+1)\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{-1,-2,\dots\})</math> 특히, [[반정수]]의 계승은 다음과 같다. :<math>(n-1/2)!=\sqrt\pi(2n-1)!!/2^n=\sqrt\pi\prod_{k=1}^n(k-1/2)\qquad(n\in\mathbb N)</math> === 기수의 계승 === ~~자연수가 아닌 수에서도 [[감마 함수]]를 이용하여, 좀 더 일반적인 형태의 계승을 정의할 수 있다.~~ 계승이 [[대칭군 (군론)\|대칭군]]의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 [[기수 (수학)\|기수]]까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 <math>\kappa</math>의 계승 <math>\kappa!</math>는 다음과 같다. ~~:감마 함수는 <math>\Gamma</math>로 표시하고, z>-1일때 다음과 같다.~~ :<math>\kappa!=\|\operatorname{Sym}(\kappa)\|= ~~:<math>z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!</math>~~ \begin{cases} \kappa(\kappa-1)(\kappa-2)\cdots3\cdot2\cdot1&\kappa<\aleph_0\\ 2^\kappa&\kappa\ge\aleph_0 \end{cases} </math> === 다중 계승 === ~~마지막의 수식은 음수와 같은 예외를 포함한, [[복소수]] [[집합]]에서의 일반적인 계승을 나타낸다.~~ 계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, '''다중 계승'''(多重階乘, {{llang\|en\|multifactorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 <math>k</math>과 정수 <math>n>-k</math>가 주어졌을 때, <math>n</math>의 <math>k</math>중 계승은 다음과 같다. (이는 <math>k</math>번의 계승과 다른 개념이다.) :<math>n\overbrace{!!\cdots!}^k=\prod_{i=0}^{\lfloor(n-1)/k\rfloor}(n-ik)</math> 특히, <math>-k<n\le0</math>일 경우 다음과 같다. :<math>1=0\overbrace{!!\cdots!}^k=(-1)\overbrace{!!\cdots!}^k=(-2)\overbrace{!!\cdots!}^k=\cdots=(-(k-1))\overbrace{!!\cdots!}^k</math> 예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, '''이중 계승'''(二重階乘, {{llang\|en\|double factorial}})은 다음과 같다. 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, :<math>(2n)!!=2^nn!=\prod_{k=1}^n2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots6\cdot4\cdot2</math> :<math>(2n-1)!!=(2n)!/(2^nn!)=\prod_{k=1}^n(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots5\cdot3\cdot1</math> 특히, <math>1=0!!=(-1)!!</math>이다. 처음 몇 이중·삼중·사중 팩토리얼은 각각 다음과 같다. ~~특히, 자연수 + 0.5 꼴의 수에서는~~ :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... {{OEIS\|A006882}} ~~:<math>n!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0.5}^n k</math>~~ :1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... {{OEIS\|A007661}} ~~과 같이 계산된다.~~ :1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... {{OEIS\|A007662}} === 지수 계승 === ~~예를 들면:~~ 계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, '''[[삼각수]]'''의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 삼각수 <math>T_n</math>은 다음과 같다. ~~<math>3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.6317</math>~~ :<math>T_n=n(n+1)/2=\sum_{k=1}^nk=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1</math> ~~<math>4.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2}\cdot{9\over2} \approx 52.3428</math>~~ 계승의 정의에서 곱셈 대신 [[거듭제곱]]을 사용하면, '''지수 계승'''(指數階乘, {{llang\|en\|exponential factorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 지수 계승 <math>a_n</math>은 다음과 같다. :<math>a_n=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots^{2^1}}}}</math> 처음 몇 지수 계승은 다음과 같다. : 1, 1, 2, 9, 262144, ... {{OEIS\|A049384}} == 성질 == === 항등식 === ~~팩토리얼(<math>factorial</math>)은 다음과 같은 성질을 갖는다.~~ 계승·<math>k</math>중 계승·지수 계승의 [[점화식]]은 각각 다음과 같다. ~~:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1) </math>~~ :<math> n! = (n~~)\cdot~~(n-1)~~\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-2))\cdot(n-(n-1))~~ !</math> :<math>n\overbrace{!!\cdots!}^k=n(n-k)\overbrace{!!\cdots!}^k</math> :<math>a_n=n^{a_{n-1}}</math> === 점근 공식 === ~~:<math> n! = (n-0)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-1)+1)\cdot(n-(n-0)+1)</math>~~ {{본문\|스털링 근사}} ~~:<math> 1! = (1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1</math>~~ ~~:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\; (0< k\le n) </math>~~ ~~::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>~~ ~~::<math>{}_{n}P_{k} = {}_{n}P_{k} \times { {(n-k)!} \over {(n-k)!} } </math>~~ ~~::<math> {}_{n}P_{k} ={{ {}_{n}P_{k} \times (n-k)!} \over{(n-k)!} } </math>~~ == 응용 == ~~::<math>\therefore\; {}_{n}P_{k} ={{n!} \over{(n-k)!} } </math>~~ === 계승 소수 === {{본문\|계승 소수}} == 관련 개념 == ~~:<math>k=n\;,\; </math>~~ === 소수 계승 === ~~::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>~~ {{본문\|소수 계승}} ~~::<math> {}_{n}P_{n} = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)=n! </math>~~ 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 소수 계승은 <math>n</math> 이하의 모든 [[소수 (수론)\|소수]]의 곱이다. === 상승 계승과 하강 계승 === ~~:<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{(n-n)!} } </math>~~ {{본문\|포흐하머 기호}} ~~::<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{0!} } </math>~~ ~~::<math> {0!} ={{n!} \over {{}_{n}P_{n}} } </math>~~ ~~:<math>\therefore\; {0!} ={{n!} \over {n!} } \;\;(\because\;{}_{n}P_{n} ={{n!} } )</math>~~ ~~:<math> {0!} ={1\over 1 } </math>~~ ~~:<math> {0!} =1 </math>~~ ~~== 값 ==~~ ~~음이 아닌 정수의 계승은 다음과 같다. {{OEIS\|A142}}~~ ~~{\|class=wikitable style="text-align: right"~~ \|- ~~! 0!~~ ~~\| 1~~ \|- ~~! 1!~~ ~~\| 1~~ \|- ~~! 2!~~ ~~\| 2~~ \|- ~~! 3!~~ ~~\| 6~~ \|- ~~! 4!~~ ~~\| 24~~ \|- ~~! 5!~~ ~~\| 120~~ \|- ~~!6!~~ ~~\|720~~ \|- ~~!7!~~ ~~\|5 040~~ \|- ~~!8!~~ ~~\|40 320~~ \|- ~~!9!~~ ~~\|362 880~~ \|- ~~!10!~~ ~~\|3 628 800~~ \|- ~~!11!~~ ~~\|39 916 800~~ \|- ~~!12!~~ ~~\|479 001 600~~ \|- ~~!13!~~ ~~\|6 227 020 800~~ \|- ~~!14!~~ ~~\|87 178 291 200~~ \|- ~~!15!~~ ~~\|1 307 674 368 000~~ \|- ~~!16!~~ ~~\|20 922 789 888 000~~ \|- ~~!17!~~ ~~\|355 687 428 096 000~~ \|- ~~!18!~~ ~~\|6 402 373 705 728 000~~ \|- ~~!19!~~ ~~\|121 645 100 408 832 000~~ \|- ~~!20!~~ ~~\|2 432 902 008 176 640 000~~ \|} == 역사 == 줄 143 ⟶ 78: {{llang\|fr\|factorielle\|팍토리엘}}이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가({{llang\|fr\|Louis François Antoine Arbogast}})가 사용하였다. [[느낌표]] 표기법은 [[1808년]] [[수학자]] [[크리스티앙 크랑]]({{llang\|fr\|Christian Kramp}})이 저서 《보편 산술 원론》({{llang\|fr\|Éléments d’arithmétique universelle}})<ref>{{서적 인용\|이름=Christian\|성=Kramp\|제목=Éléments d’arithmétique universelle\|출판사=De l’imprimerie de Th. F. Thiriart, et se vend chez Hansen\|위치=[[쾰른]]\|날짜=1808\|언어=fr}}</ref> 에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 {{llang\|fr\|faculté\|파퀼테}})라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다. ~~== 함께 보기 ==~~ [[순열]] [[조합]] [[급수\|급수(시리즈)]] [[큐-팩토리얼]] ~~== 각주 ==~~ ~~<references />~~ == 참고 문헌 == {{각주}} {{서적 인용 \|first=M. J. \|last=Hadamard\|저자고리=자크 아다마르 \|장=Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière 줄 160 ⟶ 87: ==바깥 고리== * {{수학노트\|title=팩토리얼(factorial)}} * {{eom\|title=Factorial}} * {{매스월드\|id=Factorial\|title=Factorial}} * {{매스월드\|id=DoubleFactorial\|title=Double factorial}} * [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/faktorial.php?language=ko 계승값 계산 ] (N≤40000) * {{매스월드\|id=Multifactorial\|title=Multifactorial}} * [http://math.bab2min.pe.kr/factorial 온라인 계승값 계산기] * {{매스월드\|id=ExponentialFactorial\|title=Exponential factorial}} * {{플래닛매스\|urlname=Factorial\|title=Factorial}} * {{proofwiki\|id=Definition:Factorial\|title=Definition:Factorial}} * {{proofwiki\|id=Category:Factorials\|title=Category:Factorials}} [[분류:조합론]]

계승: 두 판 사이의 차이