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[[수학]]에서, [[자연수]]의 '''계승'''(階乘, {{문화어|차례곱}}, {{llang|en|factorial|팩토리얼}})은 1부터 그 수까지의 모든 자연수의 곱이다.
[[수학]]에서, '''계승'''(階乘, {{llang|en|factorial|팩토리얼}}, {{문화어|'''차례곱'''}})은 [[1]]부터 <math>n</math>까지의 연속된 [[자연수]]를 차례로 곱한 값이다. [[기호]]로는 <math>n!</math>과 같이 [[느낌표]]('''!''')를 사용하며, 이는 한국에서 간혹 "팩토리얼(줄여서 팩)"로 읽는 경우가 있다. 이를테면 3!은 "3팩(토리얼)"이 된다.
 
== 정의 ==
음이 아닌 정수 <math>n</math>의 '''계승''' <math>n!</math>은 다음과 같다.
계승 함수는 아래와 같이 형식적으로 정의한다.
:<math>n!=\prod_{k=1}^nk=n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1</math>
특히, 0의 계승은 1이다.
:<math>0!=1</math>
처음 몇 계승은 다음과 같다.
:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... {{OEIS|A000142}}
 
=== 복소수의 계승 ===
:<math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{for all }n \ge 0 \!</math>
 
예를 들면,
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120</math>
따라서,
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3! = 120</math>
:<math>5! = {}_5P_{2} \times 3! = 120</math>
:<math>5! = {}_5P_{2} \times (n-2)! = 120</math>
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2! = 120</math>
:<math>5! = {}_5P_{3} \times (n-3)! = 120</math>
따라서,
:<math>n! = {}_nP_{k}\cdot (n-k)! </math>
:<math> {}_nP_{k}= {n! \over (n-k)!} </math>
또한 0에 대해서는
:<math>0! = 1 \ </math>
로 정의한다. 이 정의는 다음과 같은 이유에서 매우 유용하다.
* 계승의 [[점화식]] (''n'' + 1)! = ''n''! × (''n'' + 1) 이 ''n'' = 0 일 때까지 성립한다.
* 이 정의는 [[조합론]]에 등장하는 많은 공식에서 크기가 0인 집합에까지 식을 일반화한다.
* 팩토리얼(계승)의 정의는 [[순열]]의 정의를 만족한다.
 
'''이중 계승'''({{llang|en|double factorial}})은 다음과 같이 정의된다.
:<math>(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1)=\frac{(2k)!}{2^k k!}</math>
:<math>(2k)!!= \prod_{i=1}^k (2i) = 2^k k!</math>
 
=== 자연수가 아닌 경우의 정의 ===
{{본문|감마 함수}}
[[파일:Generalized factorial function.svg|thumb|right|325px|[[감마 함수]]를 사용하여,통해 계승의 정의역을 음의 정수가 아닌 복소수에[[복소수]]까지 대하여[[해석적 계승을연속|확장]]할 수 있다. 감마 함수 <math>z!=\Gamma(z+</math>의 정의역은 <math>\mathbb C\setminus\{0,-1),-2,\dots\}</math>으로이며, 정의할양의 실수부에서의 있다값은 다음과 같다.]]
:<math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt\qquad(\operatorname{Re}z>0)</math>
감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.
:<math>n!=\Gamma(n+1)\qquad(n\in\mathbb N)</math>
이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 <math>z</math>의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>z!=\Gamma(z+1)\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{-1,-2,\dots\})</math>
특히, [[반정수]]의 계승은 다음과 같다.
:<math>(n-1/2)!=\sqrt\pi(2n-1)!!/2^n=\sqrt\pi\prod_{k=1}^n(k-1/2)\qquad(n\in\mathbb N)</math>
 
=== 기수의 계승 ===
자연수가 아닌 수에서도 [[감마 함수]]를 이용하여, 좀 더 일반적인 형태의 계승을 정의할 수 있다.
계승이 [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 [[기수 (수학)|기수]]까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 <math>\kappa</math>의 계승 <math>\kappa!</math>는 다음과 같다.
:감마 함수는 <math>\Gamma</math>로 표시하고, z>-1일때 다음과 같다.
:<math>\kappa!=|\operatorname{Sym}(\kappa)|=
:<math>z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!</math>
\begin{cases}
\kappa(\kappa-1)(\kappa-2)\cdots3\cdot2\cdot1&\kappa<\aleph_0\\
2^\kappa&\kappa\ge\aleph_0
\end{cases}
</math>
 
=== 다중 계승 ===
마지막의 수식은 음수와 같은 예외를 포함한, [[복소수]] [[집합]]에서의 일반적인 계승을 나타낸다.
계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, '''다중 계승'''(多重階乘, {{llang|en|multifactorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 <math>k</math>과 정수 <math>n>-k</math>가 주어졌을 때, <math>n</math>의 <math>k</math>중 계승은 다음과 같다. (이는 <math>k</math>번의 계승과 다른 개념이다.)
:<math>n\overbrace{!!\cdots!}^k=\prod_{i=0}^{\lfloor(n-1)/k\rfloor}(n-ik)</math>
특히, <math>-k<n\le0</math>일 경우 다음과 같다.
:<math>1=0\overbrace{!!\cdots!}^k=(-1)\overbrace{!!\cdots!}^k=(-2)\overbrace{!!\cdots!}^k=\cdots=(-(k-1))\overbrace{!!\cdots!}^k</math>
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, '''이중 계승'''(二重階乘, {{llang|en|double factorial}})은 다음과 같다. 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>(2n)!!=2^nn!=\prod_{k=1}^n2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots6\cdot4\cdot2</math>
:<math>(2n-1)!!=(2n)!/(2^nn!)=\prod_{k=1}^n(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots5\cdot3\cdot1</math>
특히, <math>1=0!!=(-1)!!</math>이다.
 
처음 몇 이중·삼중·사중 팩토리얼은 각각 다음과 같다.
특히, 자연수 + 0.5 꼴의 수에서는
:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... {{OEIS|A006882}}
:<math>n!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0.5}^n k</math>
:1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... {{OEIS|A007661}}
과 같이 계산된다.
:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... {{OEIS|A007662}}
 
=== 지수 계승 ===
예를 들면:
계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, '''[[삼각수]]'''의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 삼각수 <math>T_n</math>은 다음과 같다.
<math>3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.6317</math>
:<math>T_n=n(n+1)/2=\sum_{k=1}^nk=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1</math>
<math>4.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2}\cdot{9\over2} \approx 52.3428</math>
계승의 정의에서 곱셈 대신 [[거듭제곱]]을 사용하면, '''지수 계승'''(指數階乘, {{llang|en|exponential factorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 지수 계승 <math>a_n</math>은 다음과 같다.
:<math>a_n=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots^{2^1}}}}</math>
처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.
: 1, 1, 2, 9, 262144, ... {{OEIS|A049384}}
 
== 성질 ==
=== 항등식 ===
팩토리얼(<math>factorial</math>)은 다음과 같은 성질을 갖는다.
계승·<math>k</math>중 계승·지수 계승의 [[점화식]]은 각각 다음과 같다.
:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1) </math>
:<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-2))\cdot(n-(n-1)) !</math>
:<math>n\overbrace{!!\cdots!}^k=n(n-k)\overbrace{!!\cdots!}^k</math>
:<math>a_n=n^{a_{n-1}}</math>
 
=== 점근 공식 ===
:<math> n! = (n-0)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-1)+1)\cdot(n-(n-0)+1)</math>
{{본문|스털링 근사}}
:<math> 1! = (1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1</math>
:*<math> n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\; (0< k\le n) </math>
::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>
::<math>{}_{n}P_{k} = {}_{n}P_{k} \times { {(n-k)!} \over {(n-k)!} } </math>
::<math> {}_{n}P_{k} ={{ {}_{n}P_{k} \times (n-k)!} \over{(n-k)!} } </math>
 
== 응용 ==
::<math>\therefore\; {}_{n}P_{k} ={{n!} \over{(n-k)!} } </math>
=== 계승 소수 ===
{{본문|계승 소수}}
 
== 관련 개념 ==
:<math>k=n\;,\; </math>
=== 소수 계승 ===
::<math> {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) </math>
{{본문|소수 계승}}
::<math> {}_{n}P_{n} = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)=n! </math>
음이 아닌 정수 <math>n</math>의 소수 계승은 <math>n</math> 이하의 모든 [[소수 (수론)|소수]]의 곱이다.
 
=== 상승 계승과 하강 계승 ===
:<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{(n-n)!} } </math>
{{본문|포흐하머 기호}}
::<math> {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{0!} } </math>
::<math> {0!} ={{n!} \over {{}_{n}P_{n}} } </math>
:<math>\therefore\; {0!} ={{n!} \over {n!} } \;\;(\because\;{}_{n}P_{n} ={{n!} } )</math>
:<math> {0!} ={1\over 1 } </math>
:<math> {0!} =1 </math>
 
== 값 ==
음이 아닌 정수의 계승은 다음과 같다. {{OEIS|A142}}
{|class=wikitable style="text-align: right"
|-
! 0!
| 1
|-
! 1!
| 1
|-
! 2!
| 2
|-
! 3!
| 6
|-
! 4!
| 24
|-
! 5!
| 120
|-
!6!
|720
|-
!7!
|5&#8239;040
|-
!8!
|40&#8239;320
|-
!9!
|362&#8239;880
|-
!10!
|3&#8239;628&#8239;800
|-
!11!
|39&#8239;916&#8239;800
|-
!12!
|479&#8239;001&#8239;600
|-
!13!
|6&#8239;227&#8239;020&#8239;800
|-
!14!
|87&#8239;178&#8239;291&#8239;200
|-
!15!
|1&#8239;307&#8239;674&#8239;368&#8239;000
|-
!16!
|20&#8239;922&#8239;789&#8239;888&#8239;000
|-
!17!
|355&#8239;687&#8239;428&#8239;096&#8239;000
|-
!18!
|6&#8239;402&#8239;373&#8239;705&#8239;728&#8239;000
|-
!19!
|121&#8239;645&#8239;100&#8239;408&#8239;832&#8239;000
|-
!20!
|2&#8239;432&#8239;902&#8239;008&#8239;176&#8239;640&#8239;000
|}
 
== 역사 ==
 
{{llang|fr|factorielle|팍토리엘}}이라는 이름은 프랑스의 루이 프랑수아 앙투안 아르보가({{llang|fr|Louis François Antoine Arbogast}})가 사용하였다. [[느낌표]] 표기법은 [[1808년]] [[수학자]] [[크리스티앙 크랑]]({{llang|fr|Christian Kramp}})이 저서 《보편 산술 원론》({{llang|fr|Éléments d’arithmétique universelle}})<ref>{{서적 인용|이름=Christian|성=Kramp|제목=Éléments d’arithmétique universelle|출판사=De l’imprimerie de Th. F. Thiriart, et se vend chez Hansen|위치=[[쾰른]]|날짜=1808|언어=fr}}</ref> 에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 {{llang|fr|faculté|파퀼테}})라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.
 
== 함께 보기 ==
*[[순열]]
*[[조합]]
*[[급수|급수(시리즈)]]
*[[큐-팩토리얼]]
 
== 각주 ==
<references />
 
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |first=M. J. |last=Hadamard|저자고리=자크 아다마르
|장=Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière
 
==바깥 고리==
* {{수학노트|title=팩토리얼(factorial)}}
* {{eom|title=Factorial}}
* {{매스월드|id=Factorial|title=Factorial}}
* {{매스월드|id=DoubleFactorial|title=Double factorial}}
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/faktorial.php?language=ko 계승값 계산 ] (N≤40000)
* {{매스월드|id=Multifactorial|title=Multifactorial}}
* [http://math.bab2min.pe.kr/factorial 온라인 계승값 계산기]
* {{매스월드|id=ExponentialFactorial|title=Exponential factorial}}
* {{플래닛매스|urlname=Factorial|title=Factorial}}
* {{proofwiki|id=Definition:Factorial|title=Definition:Factorial}}
* {{proofwiki|id=Category:Factorials|title=Category:Factorials}}
 
[[분류:조합론]]