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군 (수학): 두 판 사이의 차이

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** (항등원의 존재) 모든 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>1_Gg=g1_G=g</math>인 원소 <math>1_G\in G</math>가 존재한다.
* 모든 원소가 [[가역원]]이다. 즉, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>g^{-1}g=gg^{-1}=1_G</math>인 원소 <math>g^{-1}\in G</math>가 존재한다.
 
군은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.
* 군은 하나의 대상만을 갖는 [[준군]]이다. 즉, 하나의 대상만을 가지고, 모든 사상이 [[동형 사상]]인 [[범주 (수학)|범주]]이다.
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* 군은 공집합이 아닌 [[결합 법칙|결합]] [[유사군]]이다.
{{증명 시작}}
(공집합이 아닌 결합 유사군 ⇒ '''왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 결합 마그마) 원소⇒ 군:''' <math>1\in G</math>를 왼쪽 항등원이라고 하자. 또한 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, 그 왼쪽 역원 <math>h</math>와 왼쪽 역원의 왼쪽 역원 <math>k</math>를 취하자. 그렇다면,
:<math>gg1=ghg=1g=g</math>
인 <math>1\in G</math>가 존재하며, 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여,▼
:<math>1h=1gk=gk=h</math>▼
인 <math>k\in G</math>가 존재한다. 따라서, <math>1</math>은 왼쪽 항등원이다. 왼쪽 역원의 존재는 유사군의 정의에 따라 자명하다.▼
 
(왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 결합 마그마 ⇒ 군) <math>1\in G</math>를 왼쪽 항등원이라고 하자. 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, 그 왼쪽 역원 <math>h\in G</math>와 <math>h</math>의 왼쪽 역원 <math>k\in G</math>가 존재한다. 따라서,
:<math>g1=1g1=khghg=k1hg=khg=1g=g</math>▼
이며,
:<math>gh=1gh=khgh=k1h=kh=1</math>
이다. 즉, <math>1</math>은 항등원이며, <math>h</math>는 <math>g</math>의 역원이다.
 
'''공집합이 아닌 결합 유사군 ⇒ 왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 결합 마그마:''' <math>g\in G</math>를 취하자. 그렇다면,
▲:<math>g1=1g1=khghg=k1hg=khg=1g=g</math>
▲인 <math>1\in G</math>가 존재하며,존재한다. 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여,
▲:<math>1h=1gk=gk=h</math>
▲인 <math>k\in G</math>가 존재한다. 따라서즉, <math>1</math>은 왼쪽 항등원이다. 왼쪽 역원의 존재는 유사군의 정의에 따라 자명하다.
{{증명 끝}}
 
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** {{nlab|id=Grp}}
** {{nlab|id=group theory|title=Group theory}}
 
 
[[분류:군론| 추상대수학 ]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/군_(수학)"