순열: 두 판 사이의 차이
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이는 원래의 <math>n!</math>에서 겹치는 배수인 <math>2n</math>을 나눈 것이다. 처음 몇 염주 순열의 수는 다음과 같다. (<math>n=1,2,\dots</math>)
:1, 1, 1, 3, 12, 60, 360, 2520, ... {{OEIS|A001710}}
== 성질 ==
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:<math>\operatorname{Alt}(n)=\ker\sgn\triangleleft\operatorname{Sym}(n)</math>
홀순열의 집합은 부분군이 아니다. 또한, <math>n=0,1</math>의 경우 홀순열이 존재하지 않는다. 그러나, <math>n\ge 2</math>의 경우 홀순열의 집합은 크기가 교대군과 같으며, 교대군의 (자기 자신을 제외하면 유일한) [[잉여류]]이다.
== 예 ==
순열의 합성의 한 가지 예는 다음과 같다.
:<math>
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}2&5&4&3&1\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}</math>
순열의 역의 한 가지 예는 다음과 같다.
:<math>
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\3&1&4&7&6&5&2\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}2&7&1&3&6&5&4\\1&2&3&4&5&6&7\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&7&1&3&6&5&4\end{pmatrix}</math>
순열의 서로소 순환 분해의 한 가지 예는 다음과 같다.
:<math>
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&1&5&2&3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&4&2&3&5\\4&2&1&5&3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&4&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}</math>
순열의 홀짝성의 몇 가지 예는 다음과 같다.
* 항등 함수는 짝순열이다.
* 호환은 홀순열이다.
* 짝수 길이의 순환은 홀순열이다.
* 홀수 길이의 순환은 항상 짝순열이다.
크기 3의 대칭군 <math>\operatorname{Sym}(3)</math>의 [[켤레류]]는 다음과 같다.
:<math>
\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}1&3&2\end{pmatrix}</math>
:<math>
\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}</math>
:<math>
\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}</math>
이들에 대응하는 3의 [[자연수의 분할|분할]]은 각각 다음과 같다.
:<math>3=3</math>
:<math>3=2+1</math>
:<math>3=1+1+1</math>
순열의 반전수의 몇 가지 예는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{inv\,num}(\operatorname{id}_n)=0</math>
:<math>\operatorname{inv\,num}(
\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix})=|\{(y,x+1),(y,x+2),\dots,(y,y-1),(x+1,x),(x+2,x),\dots,(y-1,x),(y,x)\}|=2|y-x|-1</math>
:<math>\operatorname{inv\,num}(
\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\n&n-1&\cdots&1\end{pmatrix})=\binom n2=
\begin{cases}0&n=0,1\\n(n-1)/2&n\ge 2\end{cases}</math>
== 관련 개념 ==
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