2017년 8월 30일 (수) 04:58 판 편집 TedBot (토론 \| 기여) 봇, 업로더 2,764,418 편집 잔글 봇: 문단 이름 변경 (바깥 고리 → 외부 링크) ← 이전 편집		2017년 12월 5일 (화) 23:22 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,512 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[실해석학]]에서, '''단조 수렴 정리'''(單調收斂定理, {{llang\|en\|monotone convergence theorem}})는 ~~단조증가하거나~~[[단조수열\|단조]] ~~단조감소하는~~[[유계 ~~수열이~~수열]]이 ~~특정한~~항상 ~~조건에~~[[수렴]]한다는 대해정리이다. ~~수렴하는~~[[실수]]의 것에경우, 대한[[실수]] ~~정리이다.~~[[유계 여러수열\|유계]] ~~경우에~~[[증가수열]]은 대한그 ~~단조수렴정리가~~[[상한]]으로 ~~존재하며~~수렴하며, 예를실수 들어유계 ~~실수열~~[[감소수열]]은 그 [[하한]]으로 수렴한다. [[급수]]의 경우, 혹은수렴 급수의 증가 열에 대하여, 급수의 합의 극한은 급수의 점별 극한의 합과 같다. [[측도르베그 적분]]의 열경우, 음이 아닌 값의 [[가측 함수]]의 증가 열에 대하여, 함수의 적분의 극한은 등에함수의 대한점별 ~~정리가~~극한의 각각적분과 ~~존재한다~~같다. == 정의 == ~~== 실수 단조 수열의 수렴 ==~~ === 실수열의 경우 === 만약 ''a<sub>k</sub>''이 실수로 이루어진 단조 [[수열]](예를 들어 만약 ''a<sub>k</sub>'' ≤ ''a''<sub>''k''+1</sub>일 때)이라면, 이 수열은 극한값(양의 [[무한]], 음의 무한 포함)을 갖는다. 극한값이 유한할 필요충분조건은 이 수열이 [[유계 집합]]인 것이다.<ref>John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65. 이 정리보다 일반적인 정리의 증명이 실려있다.</ref> 실수 [[단조 수열]] <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 다음이 성립한다. :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\displaystyle\sup_{n\in\mathbb N}a_n&a_1\le a_2\le a_3\le\cdots\\\displaystyle\inf_{n\in\mathbb N}a_n&a_1\ge a_2\ge a_3\ge\cdots\end{cases}</math> 이에 따라, 실수 단조 수열 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다. * <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 [[수렴]]한다. * <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 [[유계 수열]]이다. === 증명급수열의 경우 === 실수 무한 행렬 <math>(a_{ij})_{i,j\in\mathbb N}</math>의 각 행을 급수라 여기자. 또한, 다음 조건을 만족시킨다고 하자. ~~위로 유계인 단조 증가 수열 <math>\langle a_n \rangle</math>에 대하여 증명하자. 이때 수열은 수렴하고 극한값은 <math>\sup_n \{a_n\}</math>이다.~~ * (양항 급수열) 임의의 <math>i,j\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>a_{ij}\ge0</math> * (수렴급수열) 임의의 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\sum_{j=1}^\infty a_{ij}<\infty</math> * (점별 증가 유계) 임의의 <math>j\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>(a_{ij})_{i\in\mathbb N}</math>는 [[증가수열\|증가]] 유계 수열이다. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용\|저자=J Yeh\|제목=Real analysis. Theory of measure and integration\|쪽=168\|연도=2006}}</ref> :<math>\lim_{i\to\infty}\sum_{j=1}^\infty a_{ij}=\sum_{j=1}^\infty\lim_{i\to\infty}a_{ij}<\infty</math> 즉, 급수를 취한 뒤 극한을 취하거나, 극한을 취한 뒤 급수를 취할 수 있으며, 이 두 연산은 교환 가능하다. === 함수열의 경우 === <math>\{ a_n \}</math>이 공집합이 아니고 위로 유계이므로, 이 집합은 실수의 [[상한공리\|상한 성질]]에 의하여 <math>c = \sup_n \{a_n\}</math>이 존재하고 이는 그 값은 유한이다. 모든 <math>\varepsilon > 0</math>에 대하여, <math>a_N > c - \varepsilon </math>을 만족하는 <math>a_N</math>이 존재한다. 만약 존재하지 않는다고 하면 <math>c - \varepsilon </math>이 <math>\{ a_n \}</math>의 상계가 되어야 하는데 이는 <math>c = \sup_n \{a_n\}</math>라는 것과 모순이다. <math>\langle a_n \rangle</math>이 증가수열이므로, <math>\forall n > N</math>에 대해 <math> \|c - a_n\| = c - a_n \leq c - a_N < \varepsilon </math>가 성립하고, 정의에 의해 <math>\langle a_n \rangle</math>의 극한값은 <math>\sup_n \{a_n\}</math>이 된다. <math>\Box</math> 가측 함수열에 대한 단조 수렴 정리는 앞선 정리의 일반화이며, 가장 중요한 단조 수렴 정리이다. [[앙리 르베그]]의 단조 수렴 정리라고 부르거나, [[베포 레비]]의 정리라고 부른다. [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 및 음이 아닌 값의 [[가측 함수]]의 증가 열 <math>(f_n\colon X\to[0,\infty])_{n\in\mathbb N}</math>이 주어졌다고 하자. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다고 하자. ~~같은 방식으로 실수로 이루어진 아래로 유계인 단조 감소 수열에 대해서도 생각하면, 이 수열의 하계가 극한값이 된다는 사실을 알 수 있다.~~ * (양항 함수열) 임의의 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>0\le f_n(x)\le\infty</math> * (가측 함수열) 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>f_n</math>은 가측 함수이다. * (점별 증가) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>(f_n(x))_{n\in\mathbb N}</math>는 증가수열이다. 그렇다면, 다음이 성립한다. :<math>\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu=\int_X\lim_{n\to\infty}f_nd\mu</math> 즉, 적분을 취한 뒤 점별 극한을 취하거나, 점별 극한을 취한 뒤 적분을 취할 수 있으며, 이 두 연산은 서로 교환 가능하다. == ~~단조 급수의 수렴~~증명 == === 실수열의 경우 === 자연수 ''j'', ''k''에 대하여, ''a''<sub>''j'',''k''</sub>가 음이 아닌 실수이고, ''a''<sub>''j'',''k''</sub> ≤ ''a''<sub>''j''+1 ,''k''</sub> 이면, 다음 식이 성립한다.<ref>{{서적 인용\|저자=J Yeh\|제목=Real analysis. Theory of measure and integration\|쪽=168\|연도=2006}}</ref> <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 증가 위로 유계 수열이라고 하자. 그렇다면 이는 집합으로서 공집합이 아닌 위로 유계 집합이므로, [[상한 공리]]에 따라 [[상한과 하한\|상한]] ~~:<math>\lim_{j\to\infty} \sum_k a_{j,k} = \sum_k \lim_{j\to\infty} a_{j,k}</math>~~ :<math>a=\sup_{n\in\mathbb N}a_n\in\mathbb R</math> 이 존재한다. 상한의 정의에 따라 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, :<math>a-\epsilon<a_N\le a</math> 인 <math>N\in\mathbb N</math>이 존재한다. 증가수열이므로, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여, :<math>a-\epsilon<a_N\le a_n\le a</math> 이다. 즉, :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math> 이제, <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 증가 위로 무계 수열이라고 하자. 그렇다면 우선 :<math>\sup_{n\in\mathbb N}a_n=\infty</math> 이다. 위로 무계 수열이므로, 임의의 <math>M\in\mathbb R</math>에 대하여, :<math>a_N>M</math> 인 <math>N\in\mathbb N</math>이 존재한다. 증가수열이므로, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여, :<math>a_n\ge a_N>M</math> 이다. 즉, :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty</math> 비슷하게 감소수열에 대한 명제를 증명할 수 있다. === 함수열의 경우 === ~~== 르베그 단조 수렴 정리 ==~~ '''<math>f=\lim_{n\to\infty}f_n</math>의 가측성의 증명:''' 항등식 <math>f^{-1}([0,a])=\bigcap_{n\in\mathbb N}f_n^{-1}([0,a])</math>에 의하여 성립한다. ~~{{본문\|레비의 정리}}~~ 이 정리는 앞에서 언급한 정리를 보다 일반화 한 것이며, 단조 수렴 정리들 중에서도 가장 중요한 정리중 하나이다. 정리의 이름은 [[앙리 르베그]]에서 유래하였으며, [[베포 레비]] 정리로도 불린다. 이 정리는 다음과 같다. '''≤의 증명:''' 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>f_n\le f</math>이므로, μ를 [[측도]]라고 하자. 만약 ''f'', ''f<sub>1</sub>'', ''f<sub>2</sub>'', ... 가 μ-[[가측 함수]]이며 <math>[0,\infty]</math>에서 값을 갖는 함수이고, 각각의 ''k'' 와 ''x''에 대하여 ''f<sub>k</sub>''(''x'') ≤ ''f''<sub>''k''+1</sub>(''x'')이 성립하고, :<math>\int_Xf_nd\mu\le\int_Xfd\mu</math> ~~:<math>\lim_{k\to\infty} f_k=f</math> (μ 측도 기준으로 [[거의 어디서나]])~~ 이다. 여기에 <math>n\to\infty</math>를 취하면 원하는 부등식을 얻는다. ~~이 성립할 때,<ref>{{서적 인용\|저자=Erik Schechter\|제목=Analysis and Its Foundations\|장=21.38\|연도=1997}}</ref>~~ ~~:<math>\lim_{k\to\infty} \int f_k d\mu = \int f d\mu </math>~~ ~~이 성립한다.~~ '''≥의 증명:''' 임의의 <math>s\in\mathcal S_{\le f}</math> 및 <math>0<\alpha<1</math> 및 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자. ~~=== 증명 1 ===~~ :<math>E_{s,\alpha,n}=\{x\in X\colon\alpha s(x)\le f_n(x)\}</math> ~~모든 n에 대하여 <math> 0\leq f_n \leq f_{n+1}</math>이므로~~ 그렇다면, 이는 :<math>E_{s,\alpha,1}\subseteq E_{s,\alpha,2}\subseteq\cdots\subseteq X=E_{s,\alpha,1}\cup E_{s,\alpha,2}\cup\cdots</math> 를 만족시키는 가측 집합의 열이며, 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 다음이 성립한다. :<math>\alpha\int_{E_{s,\alpha,1}}sd\mu\le\int_{E_{s,\alpha,1}}f_nd\mu\le\int_Xf_nd\mu</math> 여기에 <math>n\to\infty</math>를 취하면 :<math>\alpha\int_Xsd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu</math> 를 얻으며, 다시 <math>\alpha\to1^-</math>를 취하면 :<math>\int_Xsd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu</math> 를 얻는다. 르베그 적분의 정의 :<math>\int_Xfd\mu=\sup_{s\in\mathcal S_{\le f}}\int_Xsd\mu</math> 에 의하여 :<math>\int_Xfd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu</math> 를 얻는다. == 예 == ~~:<math>\int f_n \leq \int f_{n+1}</math>~~ 실수열의 극한 :<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}</math> 의 극한을 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수열 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>의 극한이다. :<math>a_1=\sqrt 2</math> :<math>a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\qquad(n=1,2,\dots)</math> :<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=\lim_{n\to\infty}a_n</math> 이 수열은 다음과 같은 귀납에 따라 증가수열이다. :<math>a_2=\sqrt{2+\sqrt 2}>\sqrt 2=a_1</math> :<math>a_{n+1}>a_n\implies a_{n+2}=\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_n}=a_{n+1}</math> 또한 다음과 같은 귀납에 따라 위로 유계이다. :<math>a_1<\sqrt 2+1</math> :<math>a_n<\sqrt 2+1\implies a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+\sqrt 2+1}<\sqrt{2+2\sqrt 2+1}=\sqrt 2+1</math> 단조 수렴 정리에 따라, <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 수렴한다. 이제 :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math> 라고 하고, 식 :<math>a_{n+1}^2=2+a_n\qquad(n=1,2,\dots)</math> 양변에 극한을 취할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다. :<math>a^2=2+a</math> 또한 <math>a\ge a_1>0</math>이므로, 극한은 이 이차 방정식의 양의 근인 2와 같다. :<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=2</math> === 일반화 단조 유계 수열의 수렴성 === ~~이 성립하고,~~ 단조 수렴 정리를 사용하여 다음과 같은 일반화된 정리를 증명할 수 있다.<ref>{{저널 인용\|성=Bibby\|이름=John\|제목=Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences\|저널=Glasgow Mathematical Journal\|권=15\|쪽=63-65\|언어=en}}</ref> 실수열 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 <math>m\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R</math>이 존재한다고 하자. * <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다. ~~<math>\lim_{k\to\infty} f_k=f</math>이므로, 모든 n에 대하여~~ * 임의의 <math>k\in\{1,\dots,m\}</math> 및 <math>x_1,\dots,x_k,x_k',\dots,x_m,\in\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>x_k<x_k'</math>이라면 <math>f(x_1,\dots,x_k,\dots,x_m)<f(x_1,\dots,x_k',\dots,x_m)</math>이다. :* 임의의 <math>x\~~int f_n~~ in\~~leq~~mathbb ~~\int~~R</math>에 대하여, <math>f(x,\dots,x)=x</math> * 임의의 <math>n\in\{m+1,m+2,\dots\}</math>에 대하여, <math>f(a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-m})\le a_n</math> 그렇다면, ~~이 성립한다.~~ :<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\in\mathbb N}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-m}\}\in\mathbb R\sqcup\{\infty\}</math> 이다. 또한, 이 수열이 수렴할 필요충분조건은 유계 수열인 것이다. ~~(0,1) 사이의 고정값을 갖는 <math> \alpha</math>와, <math>0 \leq \Phi \leq f</math>를 만족하는 [[단순 함수]] <math>\Phi</math>에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.~~ ~~:<math>E_n = \{x \| f_n (x) \geq \alpha \Phi (x) \}</math>~~ ~~이처럼 정의하면, <math>E_n</math>는 측정 가능한 집합들의 증가 수열이고, <math>\cup E_n</math>는 함수의 정의역 전체가 된다. 또한 다음 식이 성립한다.~~ ~~:<math>\alpha \int_{E_n}{\Phi} \leq \int_{E_n} f_n \leq \int f_n</math>~~ ~~따라서~~ ~~:<math> \lim \int_{E_n}{\Phi} = \int \Phi</math>~~ 가 성립하고,<ref>{{서적 인용\|성=Folland\|이름=Gerald B.\|제목 = Real Analysis - Modern Techniques and Their Applications\|판 = 2nd edition\|연도=1999\|출판사=John Wiley& Sons, Inc\|언어 = 영어\|쪽 = 26, 49, 50}}</ref><math>\Phi \leq f</math>이 성립하므로, ~~:<math>\lim \int {f_n} \geq \alpha \int{f} \geq \alpha \int{\Phi}</math>~~ ~~이 성립한다는 것을 알 수 있다. 위의 부등식이 모든 <math>\alpha < 1</math>에 대해서 성립하므로,~~ ~~:<math>\lim \int {f_n} \geq \int{f}</math>~~ ~~가 성립한다. 따라서 <math>\lim \int {f_n} = \int{f}</math>이 성립한다.~~ ~~=== 증명 2 ===~~ ~~{''f''<sub>''k''</sub>}<sub>''k'' ∈ '''N'''</sub>가 음이 아닌 측정 가능한 함수들의 감소하지 않는 수열인 경우,~~ ~~:<math> f = \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k </math>~~ ~~를 대입하면, 르베그 적분의 단조성에 의해서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.~~ ~~: <math> \int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu </math>~~ ~~또한, 수열이 단조수열이기 때문에, 우변의 극한값이 존재한다.~~ ~~이제 반대방향의 부등식을 [[파투의 보조정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.~~ ~~:<math> \int f d \mu \leq \lim_k \int f_k d \mu. </math>~~ 적분의 정의로부터, 함수 ''f''로 [[점마다 유계열]]인 음이 아닌 [[단순 함수]]의 수열 {''g''<sub>''n''</sub>}이 존재한다는 사실을 알 수 있다. 이때 {''g''<sub>''n''</sub>}은 다음과 같은 성질도 만족하여야 한다. ~~:<math> \lim_k \int g_k d \mu = \int f d \mu. </math>~~ ~~따라서, ''k'' ∈ '''N'''인 경우에 대해서만 증명하면 된다.~~ ~~:<math> \int g_k d \mu \leq \lim_j \int f_j d \mu. </math>~~ ~~''g''가 단순 함수인 경우,~~ ~~:<math> \lim_j f_j(x) \geq g(x) </math>~~ ~~가 거의 모든 곳에서 성립하고, 이때~~ ~~:<math> \lim_j \int f_j d \mu \geq \int g d \mu</math>~~ 가 성립한다. ''g''가 단순함수이므로 그 값이 일정한 집합만 생각한다면, 해당 집합의 정의함수로 생각할 수 있다. 따라서 다음을 증명하면 원래의 명제를 증명하는 것과 동치가 된다. :''A''를 측정가능한 집합이라 하고, {''f''<sub>''k''</sub>}<sub>''k'' ∈ '''N'''</sub>가 ''E''에서의 감소하지 않는 측정가능함수의 수열이라고 하자. 이때 이 수열은 거의 모든 ''x'' ∈ ''A''에 대하여 다음 조건을 만족하는 것이어야 한다. ~~::<math> \lim_n f_n (x) \geq 1 </math>~~ ~~:그러면~~ ~~::<math> \lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A) </math>~~ ~~:이 성립한다.~~ ~~이를 증명하기 위해서는 ε > 0을 고정시켜놓고 측정가능집합들의 수열을 다음과 같이 정의한다.~~ ~~:<math> B_n = \{x \in A: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \} </math>~~ ~~적분의 단조성에 의하여, 모든 ''n'' ∈ '''N'''에 대해 다음 식이 성립한다.~~ ~~:<math> \mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon)~~ ~~1_{B_n} d \mu \leq \int f_n d \mu </math>~~ ~~가정에 의해~~ ~~:<math> \bigcup_i B_i = A </math>~~ ~~가 성립하고, 측도의 가측가산성질(countable additivity)에 의해 다음 식이 성립한다.~~ ~~:<math> \mu(A) = \lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n d~~ ~~\mu. </math>~~ ~~이 식이 임의의 양수 ε에 대해 성립하므로,~~ ~~:<math> \lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A) </math>~~ ~~가 성립함을 알 수 있다.~~ == 같이 보기 == 줄 134 ⟶ 112: {{각주}} == 외부바깥 링크고리 == * {{eom\|title=Lebesgue theorem}} * {{매스월드\|id=MonotoneConvergenceTheorem\|title=Monotone convergence theorem}} * {{플래닛매스\|id=monotoneconvergencetheorem\|title=Monotone convergence theorem}} * {{플래닛매스\|id=proofofmonotoneconvergencetheorem\|title=Proof of monotone convergence theorem}} * {{proofwiki\|id=Monotone_Convergence_Theorem_(Real_Analysis)\|title=Monotone convergence theorem (real analysis)}} * {{proofwiki\|id=Monotone_Convergence_Theorem_(Measure_Theory)\|title=Monotone convergence theorem (measure theory)}} [[분류:실해석학 정리]]

단조 수렴 정리: 두 판 사이의 차이