"순환군"의 두 판 사이의 차이

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순환군의 [[몫군]] 역시 순환군이다.
 
순환군 <math>Z_m,Z_n</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* <math>Z_m\oplus Z_n\cong Z_{mn}</math>
* <math>\gcd\{m,n\}=1</math>
{{증명 시작}}
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}(1,1)=\operatorname{ord}(1,0)\operatorname{ord}(0,1)=mn</math>
* '''(⇒)''' 만약 <math>\gcd\{m,n\}\ne1</math>이라면, <math>|\{(a,b)\in Z_m\times Z_n\colon(a,b)^\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}=1\}|=|Z_m\times Z_n|=mn>\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}</math>
{{증명 끝}}
[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 순환군이다.
{{증명 시작}}
[[실로우 정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.
{{증명 끝}}
순환군 <math>Z_m,Z_n</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* <math>Z_m\oplus Z_n\cong Z_{mn}</math>
* <math>\gcd\{m,n\}=1</math>
{{증명 시작}}
* '''(⇐)''' <math>\operatorname{ord}(1,1\oplus1)=\operatorname{ord}(1,0\oplus0)\operatorname{ord}(0,1\oplus1)=mn</math>
* '''(⇒)''' 만약 <math>\gcd\{m,n\}\ne1</math>이라면, <math>|\{(a,\oplus b)\in Z_m\timesoplus Z_n\colon(a,\oplus b)^\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}=1\}|=|Z_m\timesoplus Z_n|=mn>\frac{mn}{\gcd\{m,n\}}</math>
{{증명 끝}}
[[코시 정리]]에 따르면, 임의의 소인수 <math>p\mid|G|</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}g=p</math>인 <math>g\in G</math>가 존재한다.