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유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다. <math>G</math>가 아벨 유한 [[p-군]], <math>a\in G</math>가 그 최대 위수 원소라고 하자. 그렇다면, <math>G=\langle a\rangle\times B</math>인 <math>B\le G</math>가 존재한다.
{{증명 시작}}
이제 <math>G</math>가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면, <math>a|G|\in Gge2</math>이며, <math>|G|\ge2ne\langle a\rangle</math>가 가장 작은 반례라고 하자. (1의 경우 반례가 아님이 자명하다.) 그렇다면이므로, 최소 위수 원소 <math>b\in G\setminus\langle a\rangle</math>를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.
* <math>\operatorname{ord}b=p</math>
** 증명: 그렇지 않다면, <math>\operatorname{ord}b=p^e</math> (<math>e\ge2</math>)이며, <math>\operatorname{ord}b^p=p^{e-1}</math>이므로, <math>b^p\in\langle a\rangle</math>이다. <math>b^p=a^n</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>)이라고 하자. 그렇다면, <math>\frac{\operatorname{ord}a}{\gcd\{\operatorname{ord}a,n\}}=\operatorname{ord}b^p<\operatorname{ord}b\le\operatorname{ord}a</math>이므로, <math>p\mid n</math>이다. 따라서, <math>(ba^{-\frac np})^p=1_G</math>이며, <math>ba^{-\frac np}\in G\setminus\langle a\rangle</math>인데, 이는 <math>b</math>의 선택과 모순이다.