복소수: 두 판 사이의 차이
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이러한 기호들을 사용하여 복소수의 세 가지 형식을 다시 쓰면 다음과 같다.
:<math>z=\operatorname{Re}z+i\operatorname{Im}z=|z|(\cos\operatorname{arg}z+i\sin\operatorname{arg}z)=|z|e^{i\operatorname{arg}z}</math>
* <math>\operatorname{Re}z=|z|\cos\operatorname{arg}z=\frac{z+\bar z}2</math>▼
* <math>\operatorname{Im}z=|z|\sin\operatorname{arg}z=\frac{z-\bar z}{2i}</math>▼
* <math>|z|=\sqrt{(\operatorname{Re}z)^2+(\operatorname{Im}z)^2}=\sqrt{z\bar z}</math>▼
* <math>\operatorname{arg}z=\operatorname{atan2}(\operatorname{Im}z,\operatorname{Re}z)=\frac12\ln\frac z\bar z</math>▼
* <math>\bar z=\operatorname{Re}z-i\operatorname{Im}z=|z|e^{-i\operatorname{arg}z}</math>▼
== 연산 ==
줄 145 ⟶ 141:
=== 실수부와 허수부 ===
복소수의 실수부와 허수부는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
복소수의 실수부와 허수부에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>\operatorname{Re}(z\pm w)=\operatorname{Re}z\pm\operatorname{Re}w</math>
줄 152 ⟶ 151:
=== 절댓값과 편각 ===
복소수의 [[절댓값]]은
복소수의 절댓값은 [[노름]]을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>|z|\ge0</math>
* <math>|z|=0\iff z=0</math>
줄 159 ⟶ 160:
* <math>|zw|=|z||w|</math>
* <math>\left|\frac zw\right|=\frac{|z|}{|w|}</math>
복소수의 [[편각 (수학)|편각]]
▲
복소수의 편각에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>\operatorname{arg}(zw)\equiv\operatorname{arg}z+\operatorname{arg}w\pmod{2\pi}</math>
* <math>\operatorname{arg}\frac zw\equiv\operatorname{arg}z-\operatorname{arg}w\pmod{2\pi}</math>
=== 켤레 복소수 ===
[[켤레 복소수]]는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[[켤레 복소수]] <math>\bar{}\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>는 [[대합 (수학)|대합]] [[노름]] [[대수 (환론)|대수]] [[자기 동형]]을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.▼
▲
* <math>\bar\bar z=z</math>
* <math>|\bar z|=|z|</math>
줄 189 ⟶ 194:
* <math>\operatorname{arg}z=\pm\frac\pi2</math>
* <math>z=-\bar z\ne0</math>
예를 들어, <math>-1,1/3,\sqrt[3]2\pi</math>는 실수이며, <math>1+i,-2i,2+\sqrt3i</math>는 허수이며, 이들 가운데 <math>-2i</math>는 순허수이다.
=== 대수적 수와 초월수 ===
줄 194 ⟶ 200:
* 만약 <math>f(z)=0</math>인 복소수 계수 다항식 <math>f(x)\ne0</math>가 존재한다면, <math>z</math>를 '''[[대수적 수]]'''라고 한다.
* 만약 <math>f(z)=0</math>인 복소수 게수 다항식 <math>f(x)\ne0</math>가 존재하지 않는다면, <math>z</math>를 '''[[초월수]]'''라고 한다.
예를 들어, <math>\sqrt[3]2,(1+i)/\sqrt2</math>는 대수적 수이며, <math>e,\pi</math>는 초월수이다.
== 확장 ==
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