함수: 두 판 사이의 차이

함수의 정의역의 모든 원소는 그에 대응하는 상을 반드시 가져야 한다. 예를 들어, 각 실수 <math>x\in\mathbb R</math>를 또 다른 실수 <math>1/(1-x)\in\mathbb R</math>에 대응시키는 관계 <math>fR</math>는 <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb R</math> 사이의 함수가 아니다. 1의 상이 정의되지 않았기 때문이다. 그러나, 이를 새로운 정의역 <math>\mathbb R\setminus\{1\}</math>을 갖는 함수 <math>f\colon\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R</math>로서 간주할 수 있다. 일반적으로, 집합 <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 [[부분 정의 함수]]는 <math>X</math>의 어떤 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>를 정의역으로 하며, <math>Y</math>를 공역으로 하는 함수 <math>f\colon A\to Y</math>로 정의된다. 이 경우, 상술 <math>fR</math>는 <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb R</math> 사이의 부분 정의 함수이지만, <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb R</math> 사이의 함수가 아니다. 보통의 함수를 '''전함수'''(全函數, {{llang|en|total function}})라고 불러 부분 정의 함수와 구별하기도 한다.

함수의 정의역의 원소에 대응하는 상은 반드시 유일해야 한다. 예를 들어, 절댓값이 1 이하인 실수 <math>x\in[-1,1]</math>를 방정식 <math>x^2+y^2=1</math>의 해 <math>y\in\mathbb R</math>로 대응시키는 관계 <math>fR</math>는 <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb R</math> 사이의 함수가 아니다. 모든 <math>x\ne\pm1</math>은 두 개의 상 <math>\pm\sqrt{1-x^2}</math>에 대응하기 때문이다. 그러나, 이를 새로운 공역 <math>\mathcal P(\mathbb R)</math>을 갖는 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathcal P(\mathbb R)</math>로서 간주할 수 있다. 일반적으로, 집합 <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 [[다가 함수]]는 <math>X</math>를 정의역, <math>Y</math>의 [[멱집합]] <math>\mathcal P(Y)</math>를 공역으로 하는 함수 <math>f\colon X\to\mathcal P(Y)</math>로 정의된다. 이 경우, 상술 <math>fR</math>는 <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb R</math> 사이의 다가 함수이지만, <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb R</math> 사이의 함수가 아니다. 보통의 함수를 '''일가 함수'''(一價函數, {{llang|en|single-valued function}})라고 불러 다가 함수와 구별하기도 한다.<ref name="이상구">[http://matrix.skku.ac.kr/sglee/calculus/new1.pdf 1. 기본개념], 성균관대학교 대수학 연구실 이상구 교수 홈페이지</ref>