분수 (수학): 두 판 사이의 차이
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1. 형평성을 위해 서두에 단위분수 등 이외의 다른 개념들까지 기술; '단위 분수가 기약 분수'라는 서술은 기약 분수의 뜻을 설명하는 내용의 뒤에 배치; |
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[[수학]]에서, '''분수'''(分數, {{llang|en|fraction}})는 부분이 전체를 차지하는 [[비율]]을 나타내는 수식이다. 가로줄 위에 쓰인 [[정수]]와, 가로줄 아래에 쓰인 0이 아닌 정수로 이루어진다. 이 두 정수를 각각 '''분자'''(分子, {{llang|en|numerator}})와 '''분모'''(分母, {{llang|en|denominator}})라고 하며, 가로줄은 '''분수 막대'''(分數-, {{llang|en|fraction bar}})라고 한다.
분수의 분자는 몇 조각을 취하는지를 나타낸다. 분모는 전체를 몇 등분하였는지를 나타내며, 0이 될 수 없다. 예를 들어, 전체를 4등분하였을 때 3조각이 차지하는 비율은 {{sfrac|3|4}}
분수를 반드시 분자와 분모를 통해 나타내야 하는 것은 아니다. 예를 들어, 분수 {{sfrac|3|4}}은 [[소수 (기수법)|소수]] 0.75 또는 [[백분율]] 75% 또는 거듭제곱 꼴 7.5 × 10<sup>-1</sup>로 나타낼 수도 있다.
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분수는 분자와 분모의 [[비 (수학)|비]]나 분자를 분모로 [[나눗셈|나눈]] [[몫]]을 나타내기도 한다. 예를 들어, {{sfrac|3|4}}은 3과 4의 비 3 : 4나, 3을 4로 나눈 몫 3 ÷ 4를 나타낼 수 있다.
분수는 진분수·가분수로 나눌 수 있으며, [[단위 분수]]와 같은 특수한 경우의 분수도 존재한다. 분수는 분자와 분모와 분수 막대만으로 이루어진 형식 밖에도 대분수·번분수·연분수·이집트 분수 등의 다양한 형식이 존재한다. 분수를 다루는 데 사용되는 기법에는 약분·통분이 있다.
분자와 분모가 정수인 분수로 나타낼 수 있는 수를 [[유리수]], 그렇지 않은 수를 [[무리수]]라고 한다. 유리수와 무리수가 수의 성질에 따른 분류라면, 분수는 단지 수에 대한 표기법이다. 분자와 분모가 정수가 아닌 분수 역시 생각할 수 있으며, 이는 분자를 분모로 나눈 몫으로서 생각할 수 있다. 예를 들어, 분자와 분모를 [[다항식]]으로 두면 분수는 [[유리 함수]]가 되며, 분자와 분모를 [[대수적 정수]]로 두면 분수는 [[대수적 수|대수적 유리수]]가 된다. [[추상대수학]]의 관점에서, 이들은 모두 [[정역]]과 그 [[분수체]]의 관계에 있다.
== 정의 ==
분자가 [[정수]] <math>a</math>, 분모가 0이 아닌 정수 <math>b</math>인 '''분수'''는 <math>\textstyle\frac ab</math> 또는 <math>a/b</math>로 표기하며, '<math>b</math>분의 <math>a</math>'로 발음한다. 이는 [[비 (수학)|비]] <math>a:b</math> 또는 [[몫]] <math>a\div b</math>으로 해석될 수 있다.
분수의 예에는 {{sfrac|2}}, -{{sfrac|5|8}} = {{sfrac|-5|8}} = {{sfrac|5|-8}}, {{sfrac|27|5}}, {{sfrac|12|18}} = {{sfrac|6|9}} = {{sfrac|2|3}} 등이 있다.
특히, 분자가 <math>a=0</math>인 경우, <math>\textstyle\frac0b=0</math>은 단순히 [[0]]이다. 또한, 분모가 <math>b=1</math>인 경우, <math>\textstyle\frac a1=a</math>는 단순히 [[정수]]이다. 즉, 정수는 분수의 특수한 경우라고 생각할 수 있다. 분모가 0인 경우는 정의되지 않는다. 이는 [[0으로 나누기]]를 정의할 수 없기 때문이다.
분자가 1인 분수 <math>\textstyle\frac1b</math>를 '''[[단위 분수]]'''라고 한다. 예를 들어, {{sfrac|6}}는 단위 분수이다. 분모가 2의 [[거듭제곱]]인 분수 <math>\textstyle\frac a{2^n}</math>를 '''[[이진 분수]]'''라고 한다. 예를 들어, {{sfrac|5|8}}는 이진 분수이다. === 진분수와 가분수 ===
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반대로, 분자와 분모에 동시에 같은 0이 아닌 수로 나눠도 분수의 값은 변하지 않는다. 이에 따라, 분자와 분모가 동시에 같은 0이 아닌 정수의 [[배수]]라면, 동시에 그 정수로 나눠 분자와 분모를 더 작게 만들 수 있다. 이를 '''약분'''(約分, {{llang|en|reduction, cancellation}})이라고 한다. 두 분수가 같을 필요충분조건은 하나를 약분하여 다른 하나를 얻을 수 있는 것이다. 예를 들어, {{sfrac|36|60}}은 분자와 분모를 동시에 2로 나눠 {{sfrac|18|30}}로 약분할 수 있으며, 다시 6으로 나눠 {{sfrac|3|5}}로 약분할 수 있다.
:<math>\frac{36}{60}=\frac{36\div2}{60\div2}=\frac{18}{30}=\frac{18\div6}{30\div6}=\frac35</math>
분자와 분모가 [[서로소 정수|서로소]]인 분수, 즉 분자와 분모의 양의 [[공약수]]가 1뿐인 분수를 '''[[기약 분수]]'''라고 한다. 예를 들어, {{sfrac|3|9}}는 3과 9가 공약수 3을 가지므로 기약 분수가 아니며, {{sfrac|3}}으로 약분될 수 있다. 그러나 {{sfrac|3|8}}의 경우 3과 8의 양의 공약수가 1뿐이므로 기약 분수이며, 이는 더 작은 분자와 분모를 갖는 분수로 약분될 수 없다. 특히 모든 단위 분수는 기약 분수이다. 분수를 기약 분수 꼴로 약분하려면, 분자와 분모를 동시에 이 둘의 [[최대 공약수]]로 나누면 된다. 예를 들어, {{sfrac|36|60}}의 경우 36과 60의 최대 공약수가 12이므로, 12를 나눠 약분한 결과 {{sfrac|3|5}}는 기약 분수이다. 최대 공약수를 구하는 방법에는 [[단제법]]과 [[소인수 분해]]와 [[유클리드 호제법]]이 있다.
:<math>\frac{36}{60}=\frac{36\div12}{60\div12}=\frac35</math>
분모가 다른 두 분수를 분모가 같은 두 분수로 만드는 것을 '''통분'''(通分)이라고 한다. 이 원래의 분자와 분모의 곱을 새로운 공통의 분모로 취할 수 있으며, 원래의 분자와 분모의 [[최소 공배수]]를 취할 수도 있다. 예를 들어, 분수 {{sfrac|3|8}}와 {{sfrac|5|12}}의 경우, {{sfrac|3|8}}의 분자와 분모에 동시에 12를 곱해 {{sfrac|36|96}}을 얻고, {{sfrac|5|12}}의 분자와 분모에 동시에 8을 곱해 {{sfrac|40|96}}을 만들면 96 = 8 × 12을 공통 분모로 하는 통분이 완성된다. 또한, 8과 12의 최소 공배수 24를 공통 분모로 하여 통분하면 {{sfrac|9|24}}와 {{sfrac|10|24}}를 얻는다. 최소 공배수를 구하는 방법에는 단제법과 소인수 분해가 있으며, 두 수의 곱을 최대 공약수로 나눈 몫과 같기도 하다. 통분은 분수의 크기 비교 및 덧셈과 뺄셈에서 응용된다.
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