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이차 리 대수: 두 판 사이의 차이

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23번째 줄:
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math>-이차 리 대수 <math>(\mathfrak g,\langle-|-\rangle)</math>
* <math>K</math>-이차 리 대수 <math>\mathfrak h</math> 및 그 위의 불변 [[대칭 쌍선형 형식]] <math>\langle-|-\rangle_{\mathfrak h}</math> (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
* <math>K</math>-[[리 대수 준동형]] <math>(\cdot) \colon \mathfrak h \to \mathfrak{der}(\mathfrak g)\cap\mathfrak o(\mathfrak g)</math> (여기서 <math>\mathfrak o(\mathfrak g)</math>는 [[대칭 쌍선형 형식]] <math>\langle-|-\rangle</math>에 대한 [[직교 리 대수]])
그렇다면, [[직합]] <math>K</math>-[[벡터 공간]]
37번째 줄:
:<math>\omega(g,g') \in\mathfrak h^*</math>
:<math>\omega(g,g')(h) = \langle h\cdot g|g'\rangle</math>
이다. 이를 <math>\mathfrak g</math>의, <math>\mathfrak h</math>를 통한 '''이중 확대'''({{llang|en|double extension}})라고 한다.<ref name="MR"/>{{rp|553–554, §0.2}}
이다.
 
== 성질 ==
비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, [[체 (수학)|체]] 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 [[벡터 공간]]이다.
 
[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체실수체]] 위의 [[리 대수]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Geometry Ⅵ. Riemannian geometry|이름=M. M.|성=Postnikov|총서=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|isbn= 978-3-540-41108-6|doi=10.1007/978-3-662-04433-9|언어=en}}</ref>{{rp|340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3}}
* [[양의 정부호]]의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
* 콤팩트 [[반단순 리 대수]]와 [[아벨 리 대수]]의 [[직합]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
증명:
<div class="mw-collapsible-content">
실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, [[양의 정부호]] [[단순 리 대수]] 및 1차원 [[아벨 리 대수]]들의 직합을 취할 수 밖에 없다.
</div></div>
 
== 분류 ==
[[실수체]] 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 [[단순 리 대수]]이거나, 또는1차원 [[단순아벨 리 대수]]의이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 [[아벨 리 대수]] 또는 [[단순 리 대수]]에 대한 이중 확대이다.<ref name="MR">{{저널 인용|url= http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1985_4_18_3_553_0 |제목=Algèbres de Lie et produit scalaire invariant | 이름1= Alberto|성1=Medina|이름2=Philippe|성2=Revoy | 저널=Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure | 권=18 | 호=3 | 쪽=553–561 | 날짜=1985 | zbl=0592.17006 |mr=826103 |doi=10.24033/asens.1496 | 언어=fr}}</ref>{{rp|Théorème Ⅱ}}
즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 [[단순 리 대수]]로부터, 직합 및와 1차원 [[아벨 리 대수]]에로부터, 대한직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.<ref name="MR">{{저널 인용|url= http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1985_4_18_3_553_0 |제목=Algèbres de Lie et produit scalaire invariant | 이름1= Alberto|성1=Medina|이름2=Philippe|성2=Revoy | 저널=Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure | 권=18 | 호=3 | 쪽=553–561 | 날짜=1985 | zbl=0592.17006 |mr=826103 |doi=10.24033/asens.1496 | 언어=fr}}</ref>{{rp|Théorème Ⅱ}}
 
마찬가지로, [[실수체]] 위의 모든 이차 리 대수 가운데 [[가해 리 대수]]인 것은 [[아벨 리 대수]]로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.<ref name="MR"/>{{rp|Théorème Ⅲ}}
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/이차_리_대수"