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정의편집

가환환   위의 이차 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  -리 대수  
  •  -비퇴화 쌍선형 형식  ,  

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

 

아인슈타인 표기법을 사용하여,  의 원소를  와 같이 윗첨자로 표기하고,  의 구조 상수를

 

와 같이 적고 ( ), 쌍선형 형식을

 

와 같이 적을 경우 ( ), 위 조건은 다음과 같다.

 

여기서  는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.

연산편집

같은 가환환 위의 두 이차 리 대수의 직합은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

이중 확대편집

다음이 주어졌다고 하자.

  •  
  •  -이차 리 대수  
  •  -리 대수   및 그 위의 불변 대칭 쌍선형 형식   (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
  •  -리 대수 준동형   (여기서  는 대칭 쌍선형 형식  에 대한 직교 리 대수)

그렇다면, 직합  -벡터 공간

 

위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.

 
 
 
 
 
 

여기서

 
 

이다. 이를  의,  를 통한 이중 확대(영어: double extension)라고 한다.[1]:553–554, §0.2

만약  일 때,  의 부호수가  이며,   차원이라면,   위의 대칭 쌍선형 형식에 관계 없이,   를 통한 이중 확대의 부호수는  이다.

증명:

이중 확대  에서,  의 부호수를 계산하면 된다.   위의 대칭 쌍선형 형식을 대각화하였을 때,   위의 대칭 쌍선형 형식

 

의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은  의 값에 관계 없이 모두 부호수가  임을 쉽게 확인할 수 있다.

성질편집

비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 벡터 공간이다.

실수체 위의 리 대수에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3

증명:

실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, 양의 정부호 단순 리 대수 및 1차원 아벨 리 대수들의 직합을 취할 수 밖에 없다.

분류편집

실수체 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 단순 리 대수이거나, 1차원 아벨 리 대수이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.[1]:Théorème Ⅱ 즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.[1]:Théorème Ⅱ

마찬가지로, 실수체 위의 모든 이차 리 대수 가운데 가해 리 대수인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.[1]:Théorème Ⅲ

  • 직합
  • 1차원 아벨 리 대수에 대한 이중 확대  

편집

표수 0 위의 단순 리 대수의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 킬링 형식에 비례한다. 특히, 이에 따라 표수 0에서 모든 반단순 리 대수는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.

임의의   위의 유한 차원 벡터 공간 위에, 임의의 비퇴화 쌍선형 형식아벨 리 대수 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.

비콤팩트 이차 리 대수편집

가환환   위의 이차 리 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환   위에 리 괄호

 

를 줄 수 있다. 또한, 임의의  에 대하여,

 

는 그 리 대수 아이디얼을 이룬다. 따라서, 몫 리 대수

 

를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 주자.

 

그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.

이제, 만약 예를 들어  표수 0이며,  단순 리 대수이며,  일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 반단순 리 대수아벨 리 대수의 직합이 아니다.

아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수편집

다음과 같은 리 대수를 생각하자.[3]:Proposition 2.2

 
 
 
 
 

여기에 부호수 (2,2)의 이차 형식

 
 
 

을 정의하면, 이는 실수체 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

또한, 다음을 생각하자.[3]:Proposition 2.3

 
 
 
 
 
 
 

여기서  크로네커 델타이며,  레비치비타 기호이며, 아인슈타인 표기법을 사용하였다. 이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.

이는 가해 리 대수이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

낮은 차원의 이차 리 대수편집

6차원 이하의 실수체 또는 복소수체 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.[3][4]

실수체 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.

가해 리 대수가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수[4]:Theorem 4.11
차원 이차 리 대수
3  
 
6  에 의한 이중 확대  
 에 의한 이중 확대  
 
8  
 
 
9  
 
10  
 
 
 일 때, 이중 확대  .[4]:Example 3.11 여기서  이며   ( )
 일 때, 이중 확대  .[4]:Example 4.7. 여기서  이며  복소수 힐베르트 공간 내적이다.
11 (총 3개)
12 (총 9개)
13 (총 4개)
아벨 리 대수가 아닌 6차원 이하의 기약 가해 실수 이차 리 대수[3]:Proposition 2.2, 2.3, 3.8
차원 이차 리 대수
4   (※위 문단을 참고)
5   (※위 문단을 참고)
6 (2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재)

참고 문헌편집

  1. Medina, Alberto; Revoy, Philippe (1985). “Algèbres de Lie et produit scalaire invariant”. 《Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure》 (프랑스어) 18 (3): 553–561. MR 826103. Zbl 0592.17006. doi:10.24033/asens.1496. 
  2. Postnikov, M. M. 《Geometry Ⅵ. Riemannian geometry》. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (영어). ISBN 978-3-540-41108-6. doi:10.1007/978-3-662-04433-9. 
  3. Dat, Pham Tien; Thanh, Duong Minh; Vu, Le Anh (2012). “Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions”. 《East–West Journal of Mathematics》 (영어) 14 (2): 208–218. arXiv:1204.4787. 
  4. Benayadi, Saïd; Elduque, Alberto (2014). “Classification of quadratic Lie algebras of low dimension” (영어). arXiv:1404.5174. 

외부 링크편집