주접속: 두 판 사이의 차이
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[[미분기하학]]에서, '''주접속'''(主接續, {{llang|en|principal bundle connection}})은 [[주다발]] 위에 정의되며, 그 [[군의 작용|군 작용]]과 호환되는 [[에레스만 접속]]이다.<ref>{{저널 인용|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata|권=43|호=1|연도=1957|쪽=119–194|doi=10.1007/BF02411907|이름=Shoshichi|성=Kobayaschi|제목=Theory of connections|zbl=0124.37604|issn=0373-3114|언어=en}}</ref> 이를 통해, 주다발 위에 [[평행 이동]]과 [[곡률]]을 정의할 수 있다.
== 정의 ==
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를 정의한다. 이는 [[멱등 함수]]이며 (<math>\omega\circ\omega=\omega</math>), 따라서 그 [[핵 (수학)|핵]]으로 완전히 명시된다. 그 핵 <math>\ker\omega\subseteq\mathrm TP</math>은 에레스만 접속이다.
=== 벡터 다발을 통한 정의 ===
[[딸림표현]]의 [[연관 벡터 다발]]<ref name="AB"/>{{rp|545–546, §3}}
:<math>\operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak g</math>
및 다음과 같은 <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]]을 생각하자.
:<math>\left(\frac{\mathrm TP}G\right)_x = \left(\Gamma^\infty(\mathrm TP \restriction P_x)\right)^G \qquad(\forall x\in M)</math>
즉, 이 벡터 다발의 올 <math>(\mathrm TP/G)_x</math>는 (올이 <math>(\dim G + \dim M)</math>차원인) [[올다발]] <math>\mathrm TP\twoheadrightarrow P</math>의 제한 <math>(\mathrm TP\restriction P_x)\twoheadrightarrow P</math>의 [[매끄러운 단면]] 가운데, <math>G</math>의 [[오른쪽 군 작용]]에 대하여 불변인 것이다. 벡터장의 [[밂]] <math>\pi_* \colon \mathrm TP/G \twoheadrightarrow\mathrm TM</math>는 [[매끄러운 올다발]]을 이루며, 또한 <math>\mathrm TP/G \twoheadrightarrow M</math>은 [[매끄러운 벡터 다발]]을 이룬다.
이는 다음과 같은 표준적인 <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]]들의 [[짧은 완전열]]을 이룬다.<ref name="AB"/>{{rp|547, (3.2)}}
:<math>0 \to \operatorname{ad}(P) \xrightarrow\iota\to \frac{\mathrm TP}G \xrightarrow{\pi_*} \mathrm TM \to 0</math>
<math>G</math>는 이 열 위에 작용하며, <math>\iota</math>와 <Math>\pi_*</math>는 <math>G</math>의 작용 아래 불변이다.
이 경우, <math>P</math>의 '''주접속'''은 위 [[짧은 완전열]]의 분할이다. 즉, [[아벨 범주]]의 [[분할 보조정리]]에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 [[동치]]이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.
* <math>\iota\colon\operatorname{ad}(P) \to \mathrm TP/G</math>의 [[왼쪽 역사상]]인 <math>M</math>-[[매끄러운 벡터 다발]] 사상 <math>A \colon \mathrm TP/G \to \operatorname{ad}(P)</math>
* <math>\pi_* \colon \mathrm TP/G \twoheadrightarrow \mathrm TM</math>의 [[오른쪽 역사상]]인 <math>M</math>-[[매끄러운 벡터 다발]] 사상 <math>A \colon \mathrm TM \to \mathrm TP/G</math> (즉, [[올다발]] <math>\mathrm TP/G\twoheadrightarrow \mathrm TM</math>의 [[매끄러운 단면]])
[[짧은 완전열]]의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 [[매끄러운 벡터 다발]] 사상 <math>\mathrm TM \to \operatorname{ad}(P)</math>를 정의하며, 이는 [[벡터 값 미분 형식]]
:<math>\Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))</math>
의 원소와 같다. 즉, 주접속의 [[모듈러스 공간]]은 이 [[실수 벡터 공간]]에 대한 [[아핀 공간]]이다.
== 성질 ==
=== 곡률 ===
주접속의 '''곡률'''(曲率, {{llang|en|curvature}}) <math>\Omega</math>는 다음과 같다.
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== 참고 문헌 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
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