주접속

미분기하학에서 주접속(主接續, 영어: principal bundle connection)은 주다발 위에 정의되며, 그 군 작용과 호환되는 에레스만 접속이다. 이를 통해, 주다발 위에 평행 이동과 곡률을 정의할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$. 그 실수 리 대수를 ${\mathfrak {lie}}(G)$라 하자.
• 매끄러운 주다발 $\pi \colon P\twoheadrightarrow M$

$P$ 위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.

• 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수 ${\mathfrak {lie}}(G)$ 값의 1차 미분 형식 $\omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))$으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 에레스만 접속 $H\subseteq \mathrm {T} P$으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 $\mathrm {T} M$ 위의 특정한 올다발의 특정한 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 주다발의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의 ${\mathfrak {lie}}(G)$ 값의 1차 미분 형식들의 족으로 정의할 수 있다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의

$P$의 주접속 $\omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))$는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는, $P$ 위의 ${\mathfrak {lie}}(G)$값을 가진 1차 미분 형식이다.

$\operatorname {Ad} (g)(\cdot g)^{*}\omega =\omega \qquad \forall g\in G$^{:144, §Ⅳ.3, (ω.2)}

$\omega (X_{\xi })=\xi \qquad \forall \xi \in {\mathfrak {lie}}(G)$^{:144, §Ⅳ.3, (ω.1)}

여기서

• $(\cdot g)\colon P\to P$는 군의 오른쪽 작용을 나타내는 매끄러운 함수 $h\mapsto h\cdot g$이다.
• $(\cdot g)^{*}\omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))$는 1차 미분 형식 $\omega$의, $(\cdot g)$에 대한 당김이다.
• $\operatorname {Ad} (g)\colon {\mathfrak {lie}}(G)\to {\mathfrak {lie}}(G)$는 $g\in G$의 딸림표현이다.
• $X_{\xi }\in \Gamma (\mathrm {T} P)$는 $G$의, $P$ 위의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

에레스만 접속을 통한 정의

$P$의 에레스만 접속 $H\subseteq \mathrm {T} P$가 다음 조건을 만족시킨다면, $H$를 주접속이라고 한다.

$H_{p\cdot g}=(\mathrm {T} (\cdot g))(H_{p})\qquad \forall p\in P,\;g\in G$

여기서

• $(\cdot g)\colon \colon P\to P$는 $g$의 $P$ 위의 오른쪽 작용이다.
• $\mathrm {T} (\cdot g)\colon \mathrm {T} P\to \mathrm {T} P$는 위 매끄러운 함수의 미분이다.

미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속 $\omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))=\Gamma (\mathrm {T} ^{*}P\otimes {\mathfrak {lie}}(G))$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의 $m\in M$에 대하여, $G$의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

$X\colon {\mathfrak {lie}}(G)\to \Gamma (\mathrm {T} P)$

$X\colon x\mapsto X_{x}$

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, $X$의 상은 $P$의 수직 벡터 다발 $\mathrm {V} P=\ker(\mathrm {T} \pi )\subseteq \mathrm {T} P$과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

$P\times {\mathfrak {lie}}(G)\to \mathrm {V} P$

를 정의한다. (좌변은 올이 ${\mathfrak {lie}}(G)$인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서, $\omega$를 $\mathrm {T} ^{*}P\otimes \mathrm {V} P$의 단면으로 여길 수 있으며, $\omega$는 벡터 다발 사상

$\omega \colon \mathrm {T} P\to \mathrm {V} P\subseteq \mathrm {T} P$

를 정의한다. 이는 멱등 함수이며 ($\omega \circ \omega =\omega$), 따라서 그 핵으로 완전히 명시된다. 그 핵 $\ker \omega \subseteq \mathrm {T} P$은 에레스만 접속이다.

벡터 다발을 통한 정의

딸림표현의 연관 벡터 다발^{:545–546, §3}

$\operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)$

을 생각하자. 또한, $G$는 접다발 $\mathrm {T} P$ 위에 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 따라 몫공간 $\mathrm {T} P/G$를 정의할 수 있다. 그 차원은 $2(\dim M)+(\dim G)$이며, 또한

• 벡터장의 밂 $\pi _{*}\colon \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M$는 매끄러운 올다발을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 벡터 다발이 아니다.)
• $\mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow M$은 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

올다발 $\mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M$을 주접속 다발(영어: bundle of principal connections)이라고 한다.^{:141, §Ⅳ.1} 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

${\begin{matrix}\mathrm {T} P&\to &\mathrm {T} P/G&\to &\mathrm {T} M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\P&\to &P/G&=&M\end{matrix}}$

이는 다음과 같은 표준적인 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발들의 짧은 완전열을 이룬다.^{:547, (3.2)}

$0\to \operatorname {ad} (P)\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\frac {\mathrm {T} P}{G}}\,{\xrightarrow {\pi _{*}}}\,\mathrm {T} M\to 0$

$G$는 이 열 위에 작용하며, $\iota$와 $\pi _{*}$는 $G$의 작용 아래 불변이다.

이 경우, $P$의 주접속은 위 짧은 완전열의 분할이다. 즉, 아벨 범주의 분할 보조정리에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 동치이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.

• $\iota \colon \operatorname {ad} (P)\to \mathrm {T} P/G$의 왼쪽 역사상인 $M$-매끄러운 벡터 다발 사상 $A\colon \mathrm {T} P/G\to \operatorname {ad} (P)$
• $\pi _{*}\colon \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M$의 오른쪽 역사상인 $M$-매끄러운 벡터 다발 사상 $A\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} P/G$^{:142, §Ⅳ.1}

짧은 완전열의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상 $\mathrm {T} M\to \operatorname {ad} (P)$를 정의하며, 이는 벡터 값 미분 형식

$\Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))$

의 원소와 같다. 즉, 주접속의 모듈라이 공간은 이 실수 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.

국소 자명화를 통한 정의

$\pi$를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의 $M$의 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$를 골랐다고 하자. 그렇다면, $P$의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 $i\in I$에 대하여, 리 대수 값 1차 미분 형식 $A_{i}\in \Omega ^{1}(U_{i};{\mathfrak {lie}}(G))$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i,j\in I$에 대하여, 만약 $U_{i}\cap U_{j}\neq 0$이라면, 어떤 매끄러운 함수 $g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to G$에 대하여, 다음이 성립해야 한다.

  $A_{j}=\operatorname {Ad} (g_{ij})^{-1}A_{i}+g_{ij}^{-1}\mathrm {d} g_{ij}$

여기서

• ${\mathfrak {lie}}(G)$는 리 군에 대응되는 실수 리 대수이다.
• $\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {lie}}(G))$는 리 군의, 스스로의 리 대수 위의 딸림표현이다.

같은 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$ 위에 정의된 두 주접속 $(A_{i})_{i\in I}$, $(A'_{i})_{i\in I}$에 대하여, 만약 어떤 매끄러운 함수들의 족

$(g_{i}\colon U_{i}\to G)_{i\in I}$

에 대하여

$A'_{i}=\operatorname {Ad} (g_{i})^{-1}A_{i}+g_{i}^{-1}\mathrm {d} g_{i}$

라면, $A$와 $A'$을 같은 주접속으로 간주한다.

이러한 정의는 이론물리학에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 다른 정의들과 동치이다. 구체적으로, 주접속을 $P$ 위에 정의된 1차 미분 형식 $A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))$으로 정의하였다고 하자. 이 경우, 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$에 대한 국소 자명화는 각 $i\in I$에 대한 매끄러운 단면 $s_{i}\in \Gamma (U,P)$으로 주어진다. 이 경우,

$A_{i}=s_{i}^{*}A\in \Omega ^{1}(U_{i};{\mathfrak {lie}}(G))$

로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를

$s'_{i}=s_{i}g_{i}$

와 같이 바꾸면

$A'_{i}=(s'_{i})^{*}A=\operatorname {Ad} (g_{i})^{-1}A_{i}+g_{i}^{-1}\mathrm {d} g_{i}$

가 되어, 같은 주접속을 얻는다.

성질

곡률

주접속 $\omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))$의 곡률(曲率, 영어: curvature) $\Omega \in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {lie}}(G))$는 다음과 같다.

$\Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]$

여기서 $[\cdot \wedge \cdot ]$는 리 괄호와 외적을 결합한 연산으로, $[\alpha \otimes x\wedge \beta \otimes y]=(\alpha \wedge \beta )\otimes [x,y]$와 같이 정의한다.

곡률은 벡터 값 미분 형식

$F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))$

를 정의하며,^{:548, §3} 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다.

곡률이 0인 주접속을 평탄 주접속이라고 한다.

분류

게이지 변환

 이 부분의 본문은 게이지 변환군입니다.

다음과 같은 연관 다발 $\operatorname {Ad} (P)$를 생각하자.^{:539, §2}

$\operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G$

이는 $G$의, 스스로 위의 켤레 작용

$g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})$

에 대한, $P$의 연관 다발이다.

$\operatorname {Ad} (P)$의 매끄러운 단면들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 매끄러운 함수의 공간으로 여겨질 수 있다.^{:539, §2}

$\Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {Ad} (P))\cong \{\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)\colon \phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\}\cong \operatorname {Aut} (P)$

${\mathcal {G}}=\Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {Ad} (P))$는 점별 곱셈을 통해 위상군을 이루며, 그 원소를 게이지 변환이라고 한다.

주접속의 모듈러스 공간

또한, 다음과 같은, 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발을 생각하자.^{:545–546, §3}

$\operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)$

그 매끄러운 단면의 벡터 공간은 게이지 변환군 ${\mathcal {G}}$에 대응하는 리 대수이다.

$\operatorname {Lie} ({\mathcal {G}})=\Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {ad} (P))$

그렇다면, $G$-주다발 $P\twoheadrightarrow M$ 위의 주접속의 모듈라이 공간 ${\mathcal {A}}$는 다음과 같은 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.^{:547, §3}

$\mathrm {T} _{A}{\mathcal {A}}\cong \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))$

게이지 변환군 ${\mathcal {G}}\cong \operatorname {Aut} (P)$는 ${\mathcal {A}}$ 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

$\phi \cdot A=\phi ^{*}A\qquad (A\in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P)),\;\phi \in \operatorname {Aut} (P)\cong {\mathcal {G}})$

예

자명한 주다발

만약 $P=M\times G$가 자명한 주다발일 경우, $\operatorname {ad} (P)=M\times {\mathfrak {lie}}(G)$는 자명한 벡터 다발이며, 또한 표준적인 자명한 주접속 $A=0$이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 리 대수 값 미분 형식의 실수 벡터 공간 $\Omega ^{1}(M;{\mathfrak {lie}}(G))$를 이루며, 주접속을 단순히 리 대수 값 미분 형식으로 간주할 수 있다.

한원소 공간 위의 주접속

만약 $M=\{\bullet \}$이 한원소 공간이라고 하자. 이 경우,

• 주다발 $P\twoheadrightarrow \{\bullet \}$은 $G$-토서(영어: torsor, 군에서 원점을 망각한 구조)이다.
• 표준적으로 $\operatorname {ad} (P)={\mathfrak {lie}}(G)$이다.
• $\mathrm {T} P/G=\operatorname {Vect} (P)^{G}$는 $P$ 위의, $G$-오른쪽 군 작용에 대하여 불변인 벡터장들의 실수 벡터 공간이며, 이 역시 ${\mathfrak {lie}}(G)$와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 전단사 함수를 이룬다.)

따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다. $P$ 위의 1차 미분 형식으로서, 이는 마우러-카르탕 형식이다.

외부 링크

• Eschenburg, Jost. “Connection on a principal bundle”. 《The Manifold Atlas》 (영어). 
• “Ehresmann connection”. 《nLab》 (영어). 
• “Moduli space of connections”. 《nLab》 (영어).