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정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.

  • 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수   값의 1차 미분 형식  으로 정의할 수 있다.
  • 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 에레스만 접속  으로 정의할 수 있다.
  • 주접속은   위의 특정한 올다발의 특정한 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다.
  • 주접속은 주다발의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의   값의 1차 미분 형식들의 족으로 정의할 수 있다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의편집

 주접속  는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는,   위의  값을 가진 1차 미분 형식이다.

 [1]:144, §Ⅳ.3, (ω.2)
 [1]:144, §Ⅳ.3, (ω.1)

여기서

  •  군의 오른쪽 작용을 나타내는 매끄러운 함수  이다.
  •  는 1차 미분 형식  의,  에 대한 당김이다.
  •   딸림표현이다.
  •   의,   위의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

에레스만 접속을 통한 정의편집

 에레스만 접속  가 다음 조건을 만족시킨다면,  주접속이라고 한다.

 

여기서

  •     위의 오른쪽 작용이다.
  •  는 위 매끄러운 함수의 미분이다.

미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속  가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의  에 대하여,  의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

 
 

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로,   수직 벡터 다발  과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

 

를 정의한다. (좌변은 올이  인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서,   의 단면으로 여길 수 있으며,  는 벡터 다발 사상

 

를 정의한다. 이는 멱등 함수이며 ( ), 따라서 그 으로 완전히 명시된다. 그 핵  은 에레스만 접속이다.

벡터 다발을 통한 정의편집

딸림표현연관 벡터 다발[2]:545–546, §3

 

을 생각하자. 또한,  접다발   위에 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 따라 몫공간  를 정의할 수 있다. 그 차원은  이며, 또한

  • 벡터장의  매끄러운 올다발을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 벡터 다발이 아니다.)
  •  매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

올다발  주접속 다발(영어: bundle of principal connections)이라고 한다.[1]:141, §Ⅳ.1 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

 

이는 다음과 같은 표준적인   위의 매끄러운 벡터 다발들의 짧은 완전열을 이룬다.[2]:547, (3.2)

 

 는 이 열 위에 작용하며,    의 작용 아래 불변이다.

이 경우,  주접속은 위 짧은 완전열의 분할이다. 즉, 아벨 범주분할 보조정리에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 동치이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.

  •  왼쪽 역사상 -매끄러운 벡터 다발 사상  
  •  오른쪽 역사상 -매끄러운 벡터 다발 사상  [1]:142, §Ⅳ.1

짧은 완전열의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상  를 정의하며, 이는 벡터 값 미분 형식

 

의 원소와 같다. 즉, 주접속의 모듈라이 공간은 이 실수 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.

국소 자명화를 통한 정의편집

 를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의  열린 덮개  를 골랐다고 하자. 그렇다면,  주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  에 대하여, 리 대수 값 1차 미분 형식  

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약  이라면, 어떤 매끄러운 함수  에 대하여, 다음이 성립해야 한다.
     

여기서

  •  는 리 군에 대응되는 실수 리 대수이다.
  •  는 리 군의, 스스로의 리 대수 위의 딸림표현이다.

같은 열린 덮개   위에 정의된 두 주접속  ,  에 대하여, 만약 어떤 매끄러운 함수들의 족

 

에 대하여

 

라면,   을 같은 주접속으로 간주한다.

이러한 정의는 이론물리학에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 다른 정의들과 동치이다. 구체적으로, 주접속을   위에 정의된 1차 미분 형식  으로 정의하였다고 하자. 이 경우, 열린 덮개  에 대한 국소 자명화는 각  에 대한 매끄러운 단면  으로 주어진다. 이 경우,

 

로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를

 

와 같이 바꾸면

 

가 되어, 같은 주접속을 얻는다.

성질편집

곡률편집

주접속  곡률(曲率, 영어: curvature)  는 다음과 같다.

 

여기서  리 괄호와 외적을 결합한 연산으로,  와 같이 정의한다.

곡률은 벡터 값 미분 형식

 

를 정의하며,[2]:548, §3 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다.

곡률이 0인 주접속을 평탄 주접속이라고 한다.

분류편집

게이지 변환편집

다음과 같은 연관 다발  를 생각하자.[2]:539, §2

 

이는  의, 스스로 위의 켤레 작용

 

에 대한,  의 연관 다발이다.

 매끄러운 단면들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 매끄러운 함수의 공간으로 여겨질 수 있다.[2]:539, §2

 

 는 점별 곱셈을 통해 위상군을 이루며, 그 원소를 게이지 변환이라고 한다.

주접속의 모듈러스 공간편집

또한, 다음과 같은, 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발을 생각하자.[2]:545–546, §3

 

매끄러운 단면벡터 공간게이지 변환군  에 대응하는 리 대수이다.

 

그렇다면,  -주다발   위의 주접속의 모듈라이 공간  는 다음과 같은 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.[2]:547, §3

 

게이지 변환군    위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

 

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자명한 주다발편집

만약  가 자명한 주다발일 경우,  는 자명한 벡터 다발이며, 또한 표준적인 자명한 주접속  이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 리 대수 값 미분 형식실수 벡터 공간  를 이루며, 주접속을 단순히 리 대수 값 미분 형식으로 간주할 수 있다.

한원소 공간 위의 주접속편집

만약  한원소 공간이라고 하자. 이 경우,

  • 주다발   -토서(영어: torsor, 군에서 원점을 망각한 구조)이다.
  • 표준적으로  이다.
  •    위의,  -오른쪽 군 작용에 대하여 불변인 벡터장들의 실수 벡터 공간이며, 이 역시  와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 전단사 함수를 이룬다.)

따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다.   위의 1차 미분 형식으로서, 이는 마우러-카르탕 형식이다.

참고 문헌편집

  1. Kobayaschi, Shoshichi (1957). “Theory of connections”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (영어) 43 (1): 119–194. doi:10.1007/BF02411907. ISSN 0373-3114. Zbl 0124.37604. 
  2. Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1983년 3월 17일). “The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces”. 《Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences》 (영어) 308 (1505): 523–615. JSTOR 37156. 

외부 링크편집