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[[선형대수학]]에서 어떤 행렬의 '''열계수'''(列階數, column rank)는 주어진 [[체 (수학)|체]]에서 [[선형독립]] 열 [[벡터 (선형대수학)|벡터]]의 최대 개수이다. 마찬가지로 '''행계수'''(行階數, row rank)는 선형독립인 열 벡터의 최대 개수로 정의한다.
행렬에서 열계수와 행계수는 항상 같기 때문에, 이 둘을 합쳐서 ''<math>A''</math>의 '''계수'''(階數 row rank)라고 부른다. 흔히 <math>\operatorname{rk}(''A'')</math>라고 쓰거나 <math>\operatorname{rank}\ ''A''</math>라고 쓴다.
== 다른 정의 ==
체 ''<math>F''</math>를 ''<math>m''& \times;'' n''</math> 행렬 ''<math>A''</math>가 가질 수 있는 독립인 열의 최대 개수는 ''<math>A''</math>의 [[열공간]]의 차원과 같다. 열계수는 행계수와도 같으므로 rank를 행렬 ''<math>A''</math>의 [[행공간]]의 차원으로도 정의할 수 있다.
행렬 ''<math>A''</math>를 다음과 같이 하나의 [[선형 사상|사상]]으로 볼 수 있다.
:<math>f:\, F^n \to F^m</math>
:''f'' : ''F''<sup>''n''</sup> → ''F''<sup>''m''</sup>
:''<math>f''('''\mathbf x''') = ''A''''' \mathbf x'''</math>
이때 ''<math>A''</math>의 계수는 상 ''<math>f''</math>의 차원으로도 정의할 수 있다.
== 성질 ==
''<math>A''</math>가 체 ''<math>F''</math> 위에서 정의된 ''<math>m''& \times;'' n''</math> 행렬이고, 위와 같이 상 ''f''<math>F</math>를 정의한다고 하자.
* 계수가 0인 행렬은 오직 영행렬 뿐이다.
* ''<math>A''</math>의 계수는 ''<math>m''</math>이나 ''<math>n''</math>보다 클 수 없다.
* ''<math>A''</math>의 계수가 ''<math>n''</math>인 것은 ''<math>f''</math>가 [[단사함수|단사]]인 것과 같다.
* ''<math>A''</math>의 계수가 ''<math>m''</math>인 것은 ''<math>f''</math>가 [[전사함수|전사]]인 것과 같다.
* ''<math>A''</math>가 정사각행렬이고 rank가 ''<math>n''</math>인 것은 ''<math>A''</math>가 [[역행렬]]을 갖는 것과 같다.
* 임의의 ''<math>n''& \times;'' k''</math> 행렬 ''<math>B''</math>에 대해 ''<math>AB''</math>의 계수는 ''<math>A''</math>나 ''<math>B''</math>의 계수보다 클 수 없다.
* ''<math>n''& \times;'' k''</math> 행렬 ''<math>B''</math>의 계수가 ''<math>n''</math>이면 ''<math>AB''</math>의 계수는 ''<math>A''</math>의 계수와 같다.
* ''<math>l''& \times;'' m''</math> 행렬 ''<math>C''</math>의 계수가 ''<math>m''</math>이면 ''<math>CA''</math>의 계수는 ''<math>A''</math>의 계수와 같다.
* ''<math>A''</math>의 계수가 ''<math>r''</math>이라는 것은 다음과 같은 성질을 만족하는 역행렬을 갖는 ''<math>m''& \times;'' m''</math> 행렬 ''<math>X''</math>와 ''<math>n''& \times;'' n''</math> 행렬 ''<math>Y''</math>가 존재한다는 것과 같다.
:<math>
XAY =
\end{bmatrix}
</math>
:I<submath>''r''I_r</submath>은 ''<math>r''& \times;'' r''</math> [[단위행렬]]이다.
* ''<math>A''</math>의 계수와 [[퇴화차수]]의 합은 행렬의 열의 개수와 같다. ([[계수 정리]])
== 계산법 ==
''<math>A''</math>의 계수를 계산하는 가장 간단한 방법은 [[가우스 소거법]]을 이용하는 것이다. 가우스 소거법을 행하여 행렬을 행 사다리꼴 형태로 만들어도 계수는 보존된다. 이때 0이 아닌 행의 숫자가 곧 행렬의 계수가 된다.
예를 들어 다음과 같은 4×4 행렬에서
</math>
첫번째 열과 세번째 열은 선형독립이지만, 두번째 열은 첫번째 열의 두배와 같고 네번째 열은 첫번째 열과 세번째 열의 합과 같으므로 ''<math>A''</math>의 계수는 2이다. 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>
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