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'''교환자'''({{llang|en|commutator}})란 [[수학]]에서 어떤 [[이항연산]]에 대해 [[교환법칙]]이 성립하는 지를 알려주는 [[연산자]]이다. [[환론]]과 [[군론]]에서 정의가 다르다.
{{토막글|수학}}
== [[환론]] ==<!-- This section is linked from [[en:Lie algebra]], [[jp:リー環]], and [[리환]] -->
[[환_(수학)|환]] 또는 [[결합적 대수]]의 두 원소
:<math>
이 값이 0이면 두 원소
교환자를 [[리 괄호]]로 쓰면, 모든 결합적 대수는 [[리 대수]]로 바뀌게 된다.
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'''[[리 대수]] 관계'''
* <math>[A,A] = 0
* <math>
* <math>[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0
두번째 관계는 [[반대칭성]]이라고 불리고, 세번째 관계는 [[야코비 항등식]]이라고도 불린다.
'''다른 관계들'''
* <math> [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]
* <math> [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
* <math> [A,BC] = [AB,C] + [CA,B]
* <math> [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC
* <math> [[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]
만약 <math>A</math>가 환 <math> \scriptstyle\mathfrak{R} </math>에서의 고정된 원소이면, 첫번째 관계는 <math> \scriptstyle B \mapsto [A,B]</math>에 의해 주어진 [[사상_(수학)|사상]] <math> \scriptstyle D_A: R \rightarrow R </math>에 대한 일종의 [[라이프니츠 규칙]]이 된다. 다시 말하면, 사상 <math>D_A</math>는 환 <math> \scriptstyle\mathfrak{R} </math>에서의 [[미분_(추상대수학)|미분]]을 정의한다.
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또한 다음과 같은 교환자에 대한 항등식이 있다. [[베이커-캠벨-하우스드로프 공식]]의 특별한 경우로 가끔 유용하게 쓰인다.
*<math> e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+
== [[군론]] ==
[[군_(수학)|군]] G의 두 원소 g와 h에 대한 [[교환자]]는 다음과 같이 정의된다.
:<math>
여기서, 두 원소
<!-- It is equal to the group's identity if and only if
{{토막글|수학}}
G의 [[부분군]]은 G의 '''유도된 군''' 또는 '''[[교환자 부분군]]'''이라 불리는 모든 교환자에 의해 생성된다. 일반적으로 교환자의 [[집합]]은 군 연산에 대해 [[닫힘_(수학)|닫혀]]있지 않으므로 어떤 교환자의 집합에 의해 생성된 부분군을 고려할 때는 유의하자. 또한, 교환자는 [[거듭제곱이 영인 군]] 또는 [[가해군]]을 정의하는데 쓰일 수도 있다.
위의 정의는 주로 군 이론가들이 사용하는 정의이다. 많은 수학자들은 교환자를 다음과 같이 정의하여 사용하기도 한다.
:<math>
===성질===
교환자에 대한 여러 성질은 [[군론]]에서 중요한 도구중의 하나이다.<ref>McKay, Susan (2000), ''Finite p-groups'', Queen Mary Maths Notes, 18, University of London, [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1802994 MR1802994], ISBN 978-0-902480-17-9, p. 4</ref> 여기서
* <math>x^y = x[x,y]
* <math>[y,x] = [x,y]^{-1}
* <math>[x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z]</math> and <math>[x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z
* <math>[x, y^{-1}] = [y, x]^{y^{-1}}</math> and <math>[x^{-1}, y] = [y, x]^{x^{-1}}
* <math>[[x, y^{-1}], z]^y \cdot [[y, z^{-1}], x]^z \cdot [[z, x^{-1}], y]^x = 1</math> 과 <math>[[x,y],z^x][[z,x],y^z][[y,z],x^y]=1
여기서 마지막 성질은 [[홀-위트 항등식]]으로도 알려져 있다. 이는 환론에서의 교환자에서의 [[야코비 항등식]]과 유사한 군론에서의 항등식이다.
위에서
{{토막글|수학}}
A wide range of identities are used that are true modulo certain subgroups. 이는 [[가해군]]과 [[거듭제곱이 영인 군]]을 다룰 때 유용하다. 예를 들어, 어떤 그룹의 제곱은 다음과 같이 행동한다.
: <math> (xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y]
만약 [[유도된 부분군]]이 중심이면,
:<math>(xy)^n = x^n y^n [y,x]^{\binom{n}{2}}
이 된다.
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== 차수 붙은 환과 대수==
[[차수 붙은 대수]]에서는 교환자가 동차의 성분으로 정의되는 '''차수 붙은 교환자'''로 주로 대체된다.
:<math>
== 미분 ==
다중의 교환자를 다루는 특별한 경우엔, 다음과 같은 [[딸림표현]]이 유용하게 사용되기도 한다.
: <math>\operatorname{ad}
이 때, <math>
예 :
* <math>\operatorname{
* <math>\operatorname{
== 같이 보기 ==
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