2018년 12월 6일 (목) 09:05 판 편집 Choboty (토론 \| 기여) 봇 1,723,629 편집 잔글 영어판 분류 정보를 이용.+분류:평면기하학 정리; 예쁘게 바꿈 ← 이전 편집		2018년 12월 10일 (월) 07:23 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[기하학]]에서, '''코사인 법칙'''(cosine法則, {{llang\|en\|law of cosines}})은 [[삼각형]]의 세 변과 한 각의 [[코사인]] 사이에 성립하는 정리이다. [[직각 삼각형]]에 대한 [[피타고라스의 정리]]에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다. ~~{{번역 확장 필요\|en\|Law of cosines}}~~ '''코사인 법칙'''(cosine 法則 ; law of cosine)은 [[수학]]에서, 상세히 말하면 [[삼각법]]에서, 평면상의 직각삼각형에 적용되는 [[피타고라스의 정리]]를 직각삼각형이 아닌 일반적인 삼각형에까지 확장시킨 법칙을 말한다. == ~~제1코사인법칙~~정의 == [[파일:Triangle with notations 2.svg\|섬네일\|삼각형의 세 각 <math>A,B,C</math> 및 이들이 마주하는 변 <math>a,b,c</math>]] ~~제1코사인 법칙~~ [[삼각형~~]] ABC의 꼭지각~~ <math>~~\ A~~ABC</math>,의 ~~<math>\~~세 각 B</math>A,B, ~~<math>\~~ C</math>에가 대한마주하는 변을변이 각각 <math>\ a~~</math>~~, ~~<math>\~~ b~~</math>~~, ~~<math>\~~ c</math>라라고 하면, ~~다음 공식이~~다음이 성립한다.▼ : <math>ac^2 = ba^2 + cb^2 - ~~2bc \,~~2ab\cos~~\, A~~ C</math>▼ 여기서 <math>\cos</math>은 [[삼각 함수]]의 하나인 [[코사인]]이다. 이를 '''코사인 법칙'''이라고 한다.<ref name="Isaacs">{{서적 인용 \|성=Isaacs \|이름=I. Martin \|제목=Geometry for College Students \|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics \|출판사=Brooks/Cole \|날짜=2001 \|isbn=0-534-35179-4 }}</ref>{{rp\|67}} 코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다.<ref name="Isaacs" />{{rp\|67}} ~~삼각형의 꼭지각의 코사인과 변 사이에는 일정한 관계가 있다는 것을 식으로 나타낸 법칙이다.~~ :<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> ▲[[삼각형]] ABC의 꼭지각 <math>\ A</math>, <math>\ B</math>, <math>\ C</math>에 대한 변을 각각 <math>\ a</math>, <math>\ b</math>, <math>\ c</math>라 하면 다음 공식이 성립한다. 코사인 법칙에서 <math>C</math>가 [[직각]]일 경우, <math>\cos C=0</math>이므로, 다음과 같은 [[피타고라스의 정리]]를 얻는다.<ref name="Isaacs" />{{rp\|67}} :<math>a=b\cos C+c\cos B, b=c\cos A+a\cos C, c=a\cos B+b\cos A</math>▼ :<math>c^2=a^2+b^2</math> == ~~제2코사인법칙~~역사 == [[유클리드]]의 《[[에우클레이데스의 원론\|원론]]》 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다. ~~[[파일:cosine.png\|오른쪽\|250px]]~~ {{인용문\|명제12<br />둔각 삼각형에서, 둔각을 마주하는 변에 대한 정사각형은 둔각을 이루는 변들에 대한 정사각형들(의 합)보다 수직 (직선)이 내려진 둔각의 변, 그리고 둔각을 향한 수직 (직선)에 의해 (삼각형의) 밖에서 절단된 (직선)이 이루는 (직사각형)의 두 배만큼 많다.<br />Proposition 12†<br />In obtuse-angled triangles, the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the (sum of the) squares on the sides containing the obtuse angle by twice the (rectangle) contained by one of the sides around the obtuse angle, to which a perpendicular (straight-line) falls, and the (straight-line) cut off outside (the triangle) by the perpendicular (straight-line) towards the obtuse angle. 제2코사인법칙에는 피타고라스 정리의 꼴에 각의 코사인값에 비례하는 항이 보정되어 들어간다. <math>\ a</math>, <math>\ b</math>, <math>\ c</math>를 각각 삼각형의 각 <math>\ A</math>, <math>\ B</math>, <math>\ C</math>와 마주보는 변이라고 하면 다음 공식이 성립한다.<ref>{{서적 인용\|저자1=전찬기\|저자2=이종헌\|저자3=정환호\|저자4=김운학\|저자5=김경진 \|제목=토목기사 과년도 시리즈 - 응용역학 \|날짜=2015 \|출판사=성안당 \|isbn=9788931568073 \|쪽=45}}</ref> \|<ref name="Heiberg">{{서적 인용 ▲: <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \,\cos\, A </math> \|url=http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf 제2코사인법칙은 두 변의 길이와 그 사이의 [[끼인각]]으로 나머지 한 변의 길이를 구할 때나 세 변의 길이로 삼각형의 각을 구하는 데에 유용하게 쓰일 수 있다. \|성=Fitzpatrick \|이름=Richard 코사인 법칙에서 피타고라스의 정리를 유도하기 위해서는 공식에 <math>A = \frac \pi 2</math>, 즉 <math>\cos\, A = 0</math>를 대입하기만 하면 충분하다. 피타고라스의 역을 유도하는 방법은 다음과 같다. <math>a^2 = b^2 + c^2</math>인 경우 <math>bc \ne 0</math>이므로 <math>\cos\, A = 0</math>이고, 즉 <math>A</math>는 직각이다. \|제목=Euclid's Elements of Geometry \|날짜=2008 \|isbn=978-0-6151-7984-1 \|확인날짜=2018-12-10 }}</ref>{{rp\|64-65}} }} {{인용문\|명제13<br />예각 삼각형에서, 예각을 마주하는 변에 대한 정사각형은 예각을 이루는 변들에 대한 정사각형들(의 합)보다 수직 (직선)이 내려진 예각의 변, 그리고 예각을 향하는 수직 (직선)에 의해 (삼각형의) 안에서 절단된 (직선)이 이루는 (직사각형)의 두 배만큼 적다.<br />Proposition 13†<br />In acute-angled triangles, the square on the side subtending the acute angle is less than the (sum of the) squares on the sides containing the acute angle by twice the (rectangle) contained by one of the sides around the acute angle, to which a perpendicular (straight-line) falls, and the (straight-line) cut off inside (the triangle) by the perpendicular (straight-line) towards the acute angle. \|<ref name="Heiberg" />{{rp\|64-65}} }} == 증명 == === 유클리드의 《원론》에서의 증명 === [[파일:Obtuse Triangle With Altitude ZP2.svg\|섬네일\|그림코사인 1법칙의 [[유클리드]]의 《[[에우클레이데스의 원론\|원론]]》에서의 증명]] 그림그림과 1과같이, 같은<math>C</math>를 둔각으로 하는 ~~[[둔각삼각형\|~~둔각 삼각형]] <math>ABC</math>가의 ~~있고 점~~높이선 <math>BBH</math>에서를 내린긋자. ~~수선의~~그렇다면, 발이<math>ABH</math>는 <math>BHH</math>라면를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, [[피타고라스의 정리]]에 따라 ~~다음과 같은 식이~~다음이 ~~성립된다~~성립한다. :<math>AB^2 = CAAH^2 + CBBH^2 ~~+ 2 (CA)(CH)~~</math> 또한, <math>AH=AC+CH</math>이므로, 다음이 성립한다. ~~[[코사인]]의 정의에 따라 선분 <math>CH</math>를 다음과 같이 변형할 수 있다.~~ :<math>AB^2=(AC+CH)^2+BH^2=AC^2+2(AC)(CH)+CH^2+BH^2</math> ~~:{{math\|''CH'' {{=}} (''CB'') cos(''π'' − ''γ'') {{=}} −(''CB'') cos ''γ''}}~~ 마지막 두 항을 직각 삼각형 <math>BCH</math>에 대한 피타고라스의 정리를 통해 정리하면 다음을 얻는다. :<math>AB^2=AC^2+2(AC)(CH)+BC^2</math> 이로써 [[유클리드]]의 《[[에우클레이데스의 원론\|원론]]》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라 :<math>\cos C=-\cos(\pi-C)=-\frac{CH}{BC}</math> 이므로, 코사인 법칙 :<math>AB^2=AC^2+BC^2-2(AC)(BC)\cos C</math> 이 <math>C</math>가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다. <math>C</math>가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다. === 벡터와 ~~내적을~~스칼라곱을 ~~이용한~~사용한 증명 ===▼ 다음과 같은 세 벡터를 정의하자. :<math>\mathbf a=\overrightarrow{CB}</math> :<math>\mathbf b=\overrightarrow{CA}</math> :<math>\mathbf c=\overrightarrow{AB}=\mathbf a-\mathbf b</math> 그렇다면, 벡터 <math>\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c</math>의 길이는 각각 <math>a,b,c</math>이며, 벡터 <math>\mathbf a</math>와 <math>\mathbf b</math> 사이의 각도는 <math>C</math>이다. 따라서, 코사인 법칙을 [[벡터]]의 [[스칼라곱]]의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다. :<math>\begin{align}c^2 &=\mathbf c\cdot\mathbf c\\ &=(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf a-\mathbf b)\\ &=\mathbf a\cdot\mathbf a+\mathbf b\cdot\mathbf b-2\mathbf a\cdot\mathbf b\\ &=a^2+b^2-2ab\cos C \end{align}</math> == 비유클리드 기하학의 경우 == ▲=== 벡터와 내적을 이용한 증명 === === 구면 코사인 법칙 === [[벡터 (물리)\|벡터]]와 [[내적]]을 이용하여 코사인 법칙을 간단히 증명한다. 위 그림에서 <math>\vec a = \vec b - \vec c</math>의 관계가 성립한다. <math>\vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^2</math>임을 이용하면 다음과 같이 전개할 수 있다. [[구면 삼각형]] <math>ABC</math>의 세 각 <math>A,B,C</math>가 마주하는 세 변이 각각 <math>a,b,c</math>라고 하면, 다음이 성립한다. ~~: <math>\vec{a}\cdot\vec{a}= (\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})~~ ▲:<math>~~a=b~~\cos C+c=\cos ~~B, b=c~~a\cos Ab+a\~~cos~~sin ~~C, c=~~a\~~cos~~sin B+b\cos AC</math> ~~=\vec{b}\cdot\vec{b} -2\vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{c}</math>~~ 여기서 <math>\cos,\sin</math>은 각각 [[코사인]], [[삼각 함수\|사인]]이다. 이를 '''구면 코사인 법칙'''(球面cosine法則, {{llang\|en\|spherical law of cosines}})이라고 한다. ~~: <math>\|\vec a\|^2 = \|\vec b\|^2 + \|\vec c\|^2 - 2 \|\vec b\|\|\vec c\| \cos \theta</math>~~ ==== 구면 코사인 법칙법칙의 증명 ==== [[파일:Spherical triangle with notations.png\|섬네일\|구면 삼각형의 코사인 법칙의 증명]] ~~[[평면기하학]]이 아닌 [[구면기하학]]에서는 코사인 법칙을 다르게 정의한다. 구면에서의 코사인 법칙에서는 거리가 각으로 정의된다.<br />~~ 구면 삼각형 <math>ABC</math>가 놓인 단위 구면의 중심을 <math>O</math>라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자. <math>\cos a = \cos b\cdot \cos c + \sin b\cdot \sin c\cdot\cos A </math>▼ :<math>\mathbf a=\overrightarrow{OA}</math> :<math>\mathbf b=\overrightarrow{OB}</math> :<math>\mathbf c=\overrightarrow{OC}</math> 그렇다면, <math>\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c</math>의 크기는 모두 1이며, <math>\mathbf a,\mathbf b</math> 사이의 각도는 <math>c</math>이며, <math>\mathbf a,\mathbf c</math> 사이의 각도는 <math>b</math>이며, <math>\mathbf b,\mathbf c</math> 사이의 각도는 <math>a</math>이다. 따라서, 다음이 성립한다. :<math>\|\mathbf a\times\mathbf b\|=\sin c</math> :<math>\|\mathbf a\times\mathbf c\|=\sin b</math> :<math>\|\mathbf b\times\mathbf c\|=\sin a</math> 또한, <math>\mathbf a\times\mathbf b</math>와 <math>\mathbf a\times\mathbf c</math> 사이의 각도는 <math>A</math>이며, , <math>\mathbf b\times\mathbf a</math>와 <math>\mathbf b\times\mathbf c</math> 사이의 각도, <math>\mathbf c\times\mathbf a</math>와 <math>\mathbf c\times\mathbf b</math> 사이의 각도는 각각 <math>A,B,C</math>이다. 이제, [[비네-코시 항등식]]에 따라 다음이 성립함에 주의하자. :<math>(\mathbf c\times\mathbf b)\cdot(\mathbf c\times\mathbf a)=(\mathbf c\cdot\mathbf c)(\mathbf a\cdot\mathbf b)-(\mathbf c\cdot\mathbf b)(\mathbf c\cdot\mathbf a)</math> 여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다. ▲:<math>\~~cos~~sin a = \~~cos~~sin b\~~cdot~~cos C=\cos c + -\~~sin~~cos ~~b\cdot \sin c\cdot~~a\cos A b</math> 이로써 구면 코사인 법칙이 증명된다. == 같이 보기 == 줄 41 ⟶ 93: * [[코탄젠트 법칙]] * [[삼각함수]] * [[삼각함수의 덧셈정리]] == 각주 == {{각주}} ~~<references />~~ [[분류:삼각법]]

코사인 법칙: 두 판 사이의 차이