푸아송 다양체: 두 판 사이의 차이
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== 성질 ==
푸아송 다양체 <math>M</math>의 [[부분 다양체]] (즉, [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[단사 함수|단사]] [[몰입 (수학)|몰입]]) <math>\iota\colon C\hookrightarrow M</math>에 대하여,
* <math>\iota</math>를 푸아송 사상으로 만드는 <math>C</math> 위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다.
* <math>\iota</math>를 푸아송 사상으로 만드는 <math>C</math> 위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다.
* 임의의 <math>f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>에 대하여, 만약 <math>f \restriction C = 0</math>이라면, <Math>\{f,g\} \restriction C = 0</math>이다. (즉, <math>\{f\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)\colon f\restriction C = 0\}</math>는 <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>의 [[리 대수 아이디얼]]을 이룬다.)
푸아송 다양체 <math>M</math>의 모든 [[열린집합]]은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 [[닫힌집합]]이 푸아송 다양체가 될 [[필요 충분 조건]]은 [[심플렉틱 잎]]들의 [[합집합]]인 것이다.
[[심플렉틱 다양체]]의 푸아송 부분 다양체는 [[열린집합]] 밖에 없다.
=== 공등방성 부분 다양체 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 [[부분 다양체]] <math>C\hookrightarrow M</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>C</math>의 '''쌍대 법다발'''({{llang|en|conormal bundle}})은 다음과 같다.
:<math>\mathrm N^*C = \{\alpha \in \mathrm T^*M\colon \langle\alpha,v\rangle = 0\qquad\forall v\in \mathrm TC\} \subseteq \mathrm T^*M</math>
이제, <math>(M,\pi)</math>이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 '''공등방성 부분 다양체'''(共等方性部分多樣體, {{llang|en|coisotropic submanifold}})라고 한다.
* <math>\sharp (\mathrm N^*C) \subseteq \mathrm TC</math>
* 임의의 <math>f, g\in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>에 대하여, 만약 <math> f \restriction C = g \restriction C = 0</math>이라면, <math>\{f,g\} \restriction C = 0</math>이다. (다시 말해서, <math>\{f \in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)\colon f \restriction C = 0 \}</math>는 <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R) \}</math>의 [[부분 리 대수]]이다.)
정의에 따라서 (즉, 모든 [[리 대수 아이디얼]]이 [[부분 리 대수]]이므로), 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다.
== 연산 ==
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