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역함수 정리: 두 판 사이의 차이

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{{미적분학}}
 
[[다변수 미적분학]]에서, '''역함수 정리'''(逆函數定理, {{llang|en|inverse function theorem, 逆函數 定理}})는 주어진 [[함수]]가 [[가역 함수]]일 [[충분 조건]]과국소적으로 [[역함수]]의 [[도함수]]를 구하는가질 충분 공식을조건을 제시하는 정리이다.
 
== 서술정의 ==
양의 정수 <math>k\in\{1,2,\dots\}</math>에 대하여, [[열린집합]] <math>\mathbf a\in U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 <math>\mathcal C^k</math> 함수 <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^n</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
=== 일변수 함수 ===
:<math>\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf a)\ne 0</math>
[[실수]] [[구간]] <math>J\ni a</math>와 함수 <math>f\colon J\to\mathbb R</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.▼
여기서 좌변은 <math>\mathbf f</math>의 <math>\mathbf a</math>에서의 [[야코비 행렬식]]이다. 그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 <math>\mathbf a</math>에서 국소 <math>\mathcal C^k</math> [[미분동형사상]]이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린집합 <math>\mathbf a\in V\subseteq U</math>가 존재한다.
* <math>f</math>는 [[연속 미분 가능 함수]]이다. 즉 도함수가 존재하며 연속이다.
* <math>\mathbf f'(aV)\ne0</math>는 열린집합이다.
* <math>\mathbf f|_V</math>는 [[단사 함수]]이다.
'''역함수 정리'''에 따르면 <math>f</math>가 어떤 구간 <math>a\in I\subseteq J</math>으로 제한되었을 때 연속 미분 가능 [[역함수]] <math>f^{-1}\colon f(I)\to I</math>가 존재하며 그 도함수는 다음과 같다.<ref name="Bartle">Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 213쪽.</ref>
* <math>\mathbf g\colon\mathbf f(V)\to\mathbb R^n</math>, <math>\mathbf f(\mathbf x)\mapsto\mathbf x</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 함수이다.
:<math>(f^{-1})'(f(x))=\frac1{f'(x)}\qquad(x\in I)</math>▼
이를 '''역함수 정리'''라고 한다.<ref name="김락중">{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>{{rp|322-323}}
 
=== 다변수일변수의 함수경우 ===
▲[[실수]]열린구간 [[구간]]<math>a\in I\subseteq\mathbb R</math> 및 <math>J\nimathcal aC^k</math>와 함수 <math>\mathbf f\colon JI\to\mathbb R</math>가 다음 조건들을다음을 만족시킨다고 하자.
다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.
:<math>f'(a)\ne 0</math>
* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol a\in D\subseteq\mathbb R^n</math>
그렇다면, <math>f</math>는 <math>a</math>에서 국소 <math>\mathcal C^k</math> 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 <math>a\in J\subseteq I</math>가 존재한다.
* [[함수]] <math>\boldsymbol y=\boldsymbol f(\boldsymbol x)\colon D\to\mathbb R^n</math>
* <math>f(J)</math>는 열린구간이다.
이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>f|_J</math>는 단사 함수이다.
* <math>\boldsymbol f\in\mathcal C^1(D;\mathbb R^n)</math>. 즉 [[연속 미분 가능 함수]]이다. 즉 편도함수가 모두 존재하며 모두 연속이다.
* <math>g\det\boldsymbol J_\boldsymbolcolon f(\boldsymbol aJ)\ne0to J</math>. 즉, <math>f(x)\boldsymbolmapsto ax</math>에서는 [[야코비<math>\mathcal 행렬]]이 [[가역C^k</math> 행렬]]이다함수이다.
이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.
'''역함수 정리'''에 따르면 <math>\boldsymbol f</math>가 어떤 두 연결 열린집합 <math>\boldsymbol a\in U\subseteq D</math>로 제한되었을 때 연속 미분 가능 [[역함수]] <math>\boldsymbol f^{-1}\colon f(U)\to U</math>가 존재하며 그 야코비 행렬은 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=322|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>
:<math>\boldsymbol J_{\boldsymbol f^{-1}}(\boldsymbol f(\boldsymbol x))=\boldsymbol J_{\boldsymbol f}^{-1}(\boldsymbol x)\qquad(\boldsymbol x\in U)</math>
 
== 증명따름정리 ==
=== 일변수열린 함수 관련 ===
열린집합 <math>\mathbf a\in U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 <math>\mathcal C^1</math> 함수 <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^n</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
[[카라테오도리 보조정리]]를 이용하여 간단히 증명할 수 있다.<ref name="Bartle" /> 먼저 f'(c)가 존재하므로 카라테오도리 보조정리에 의해 모든 x∈I에서 f(x) - f(c) = φ(x)(x-c)를 만족하는 c에서 연속이고 φ(c) = f'(c)인 함수 φ가 존재한다. 가정에서 φ(c)≠0이고 φ는 c에서 연속이므로, 모든 x∈V∩I<ref>이는 다시 구간이 된다.</ref>에 대해 φ≠0인 c의 적당한 근방 V:=(c-a, c+a)가 존재한다. 이제 g는 모든 y∈f(V∩I)에 대해 f(g(y)) = y를 만족하므로, 이상의 식에 g(y)를 대입하면,
:<math>\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\ne 0\qquad\forall\mathbf x\in U</math>
그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 [[열린 함수]]이다. 즉, 모든 열린집합 <math>\tilde U\subseteq U</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(\tilde U)</math>은 역시 열린집합이다.
 
=== (대역) 미분동형사상 관련 ===
* y - f(c) = f(g(y)) - f(g(f(c))) = φ(g(y))(g(y) - g(f(c))).
열린집합 <math>\mathbf a\in U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 단사 <math>\mathcal C^k</math> 함수 <math>\mathbf f\colon U\to\mathbb R^n</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
:<math>\det\mathrm D\mathbf f(\mathbf x)\ne 0\qquad\forall\mathbf x\in U</math>
그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 <math>\mathcal C^k</math> 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.
* <math>\mathbf f(U)</math>는 열린집합이다.
* <math>\mathbf f^{-1}\colon f(U)\to\mathbb R^n</math>은 역시 <math>\mathcal C^k</math>함수이다.
 
== 예 ==
그런데 모든 y∈f(V∩I)에 대해 φ(g(y))≠0이므로 양 변을 φ(g(y))로 나누면 다음과 같다.
=== (대역) 미분동형사상이 아닌 함수 ===
다음과 같은 함수 <math>\mathbf f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2</math>를 생각하자.
:<math>\mathbf f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 <math>\mathcal C^1</math> 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.
:<math>\det\mathrm D\mathbf f(x,y)=e^x\ne 0</math>
음함수 정리에 따라, <math>\mathbf f</math>는 모든 점에서 국소 <math>\mathcal C^1</math> 미분동형사상이다. 그러나 <math>\mathbf f</math>는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.
 
=== 야코비 행렬식이 0인 점을 갖는 (대역) C<sup>0</sup> 미분동형사상 ===
* <math>g(y) - g(f(c)) = \frac{1}{\phi(g(y))}(y - f(c)).</math>
다음과 같은 함수 <math>\mathbf f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2</math>를 생각하자.
 
:<math>\mathbf f(x,y)=(x^3,y)\qquad\forall x,y\in\mathbb R</math>
함수 <math>\frac{1}{\phi \circ g}</math> 가 f(c)에서 연속이므로 카라테오도리 보조정리에 의해 g'(f(c))가 존재하고, 조건에 의해 <math>g'(f(c)) = \frac{1}{\phi(g(f(c)))} = \frac{1}{\phi(c)} = \frac{1}{f'(c)}.</math>
그렇다면, <math>\mathbf f</math>는 연속 함수이며, 다음과 같은 <math>\mathcal C^0</math> 역함수 <math>f^{-1}</math>를 갖는다.
▲:<math>(f^{-1})'(f(x)u,v)=\frac1(u^{f'(x1/3},v)}\qquad(x\forall u,v\in\mathbb I)R</math>
즉, <math>\mathbf f</math>는 <math>\mathcal C^0</math> 미분동형사상이다. 그러나, <math>\det\mathrm D\mathbf f(0,0)=0</math>이다. 즉, <math>k=0</math>일 경우, 야코비 행렬식이 0이 아니라는 조건은 반드시 필요한 조건이 아니다.
 
== 같이 보기 ==
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[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:실해석학 정리]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/역함수_정리"